最大化从左上角单元格到给定矩阵的所有其他单元格的路径总和

介绍

在这个问题中，我们需要计算从矩阵的左上角到其它所有单元格的最大路径总和。这个问题可以用递归或动态规划来解决。

解法一：递归

我们可以定义一个递归函数max_sum_from_cell(row, col)，它返回从(row, col)单元格开始到矩阵所有其他单元格的最大路径总和。对于每个单元格，我们可以向右或向下移动一步，然后递归调用函数max_sum_from_cell()。

我们需要注意，当单元格越过矩阵的边界时，返回路径总和为0。

def max_sum_from_cell(row, col):
    # 边界条件：越过矩阵边界，返回0
    if row >= MAX_ROW or col >= MAX_COL:
        return 0
  
    # 向右移动一步
    right_sum = max_sum_from_cell(row, col+1)
  
    # 向下移动一步
    down_sum = max_sum_from_cell(row+1, col)
    
    # 返回当前单元格到矩阵其他所有单元格的最大路径总和
    return matrix[row][col] + max(right_sum, down_sum)

在主函数中，我们可以依次调用max_sum_from_cell()，并记录最大路径总和。

MAX_ROW = len(matrix)
MAX_COL = len(matrix[0])

max_sum = 0
for i in range(MAX_ROW):
    for j in range(MAX_COL):
        sum_from_cell = max_sum_from_cell(i, j)
        max_sum = max(max_sum, sum_from_cell)

这个算法的时间复杂度为$O(2^{n^2})$，空间复杂度为$O(n^2)$，因为有很多重复的递归函数调用。

解法二：动态规划

我们可以使用一个二维数组dp来记录从左上角到每个单元格的最大路径总和。对于每个单元格，我们只需要考虑它的上方和左方的路径总和，然后取较大值加上当前单元格的值即可。

dp = [[0] * MAX_COL for _ in range(MAX_ROW)]

# 初始化dp表格
for i in range(MAX_ROW):
    for j in range(MAX_COL):
        if i == 0 and j == 0:
            # 左上角单元格，路径总和为单元格的值
            dp[i][j] = matrix[i][j]
        elif i == 0:
            # 第一行单元格，路径总和为左侧单元格的路径总和加上当前单元格的值
            dp[i][j] = dp[i][j-1] + matrix[i][j]
        elif j == 0:
            # 第一列单元格，路径总和为上方单元格的路径总和加上当前单元格的值
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + matrix[i][j]
        else:
            # 其他单元格，路径总和为上方和左侧路径总和中的较大值加上当前单元格的值
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

max_sum = dp[MAX_ROW-1][MAX_COL-1]

这个算法的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$。由于我们只需要用到上方和左侧的路径总和，我们可以将二维数组优化为一维数组，空间复杂度降为$O(n)$。

dp = [0] * MAX_COL

for i in range(MAX_ROW):
    for j in range(MAX_COL):
        if i == 0 and j == 0:
            dp[j] = matrix[i][j]
        elif i == 0:
            dp[j] = dp[j-1] + matrix[i][j]
        elif j == 0:
            dp[j] = dp[j] + matrix[i][j]
        else:
            dp[j] = max(dp[j-1], dp[j]) + matrix[i][j]

max_sum = dp[MAX_COL-1]

总结

本题介绍了两种解法：递归和动态规划。递归算法容易理解，但时间复杂度较高。动态规划算法时间复杂度较低，但需要额外的空间来存储dp表格。在实际应用中，我们可以根据具体场景选择合适的解法来解决问题。