最大化从给定矩阵的左上角单元格到所有其他单元格的路径总和

这个问题属于“动态规划”问题的范畴。

问题描述

给定一个 m*n 的矩阵，矩阵中的元素都是非负整数。我们从矩阵的左上角出发，希望找到一条路径，使得从这条路径上所有元素之和最大，同时要求路径是从左上角出发，一步一步往下或往右走，最终到达右下角的。

解决思路

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义 $dp_{i,j}$ 表示从左上角到达矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素时的最大路径和。因为要求路径是从左上角出发，一步一步往下或往右走，所以我们可以得到以下状态转移方程：

$$dp_{i,j}=\max{dp_{i-1,j},dp_{i,j-1}}+a_{i,j}$$

其中，$a_{i,j}$ 表示矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素值。

最终的答案即为 $dp_{m,n}$。

代码实现

def max_path_sum(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]

    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]

    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

    return dp[-1][-1]

其中，matrix 为输入的矩阵，函数返回的即为最大路径和。