使用 Bellman Ford 算法从图中得到的最小成本最大流

Bellman Ford 算法可以用来在带负边权的图中找到最短路径，它的时间复杂度为$O(VE)$。在最小成本最大流问题中，我们需要在残余网络中找到从源点到汇点的一条路径，该路径上的边权和为负，并且路径上的最小流量即为该路径的最大流量。

下面是使用 Bellman Ford 算法从图中得到的最小成本最大流的 Python 代码实现：

def min_cost_max_flow(graph, source, sink):
    # 初始化残余流量矩阵和残余容量矩阵
    flow = [[0 for _ in range(len(graph))] for _ in range(len(graph))]
    capacity = [[graph[i][j] for j in range(len(graph))] for i in range(len(graph))]

    # 初始化距离矩阵
    distance = [float('inf') for _ in range(len(graph))]
    distance[source] = 0

    # 执行 Bellman Ford 算法，找到最短路径
    for i in range(len(graph) - 1):
        for j in range(len(graph)):
            for k in range(len(graph)):
                if capacity[j][k] > 0 and distance[j] + graph[j][k] < distance[k]:
                    distance[k] = distance[j] + graph[j][k]

    # 寻找一条从源点到汇点的路径，该路径上的边权和为负
    while True:
        # 使用 Dijkstra 算法找到最短路径
        parent = [-1 for _ in range(len(graph))]
        distance = [float('inf') for _ in range(len(graph))]
        distance[source] = 0
        queue = [source]
        while queue:
            u = queue.pop(0)
            for v in range(len(graph)):
                if capacity[u][v] > 0 and distance[u] + graph[u][v] < distance[v]:
                    distance[v] = distance[u] + graph[u][v]
                    parent[v] = u
                    queue.append(v)
        
        # 如果找不到路径，则退出
        if parent[sink] == -1:
            break
        
        # 计算路径上的最小流量
        min_flow = float('inf')
        v = sink
        while v != source:
            u = parent[v]
            min_flow = min(min_flow, capacity[u][v] - flow[u][v])
            v = u
        
        # 更新流和容量矩阵
        v = sink
        while v != source:
            u = parent[v]
            flow[u][v] += min_flow
            flow[v][u] -= min_flow
            capacity[u][v] -= min_flow
            capacity[v][u] += min_flow
            v = u

    # 计算最小成本和最大流量
    min_cost = 0
    max_flow = 0
    for i in range(len(graph)):
        for j in range(len(graph)):
            if flow[i][j] > 0:
                max_flow += flow[i][j]
                min_cost += flow[i][j] * graph[i][j]

    return min_cost, max_flow

以上代码实现中，首先初始化残余流量矩阵和残余容量矩阵，并将距离矩阵初始化为无穷大。然后执行 Bellman Ford 算法找到最短路径，如果该路径上的边权和为负，则使用 Dijkstra 算法找到该路径上的最小流量，并更新流和容量矩阵。最后计算最小成本和最大流量并返回。