最大流量问题的 Ford-Fulkerson 算法

介绍

Ford-Fulkerson 算法是一种求解最大流量问题的经典算法。最大流量问题指的是在一个有向图中，从源点到汇点的最大流量，即沿着边的流量之和最大的路径。该问题在网络流领域有广泛的应用，如任务分配、资源分配等。

基本思路

Ford-Fulkerson 算法基于反复寻找增广路径的思路。一个增广路径是指从源点到汇点的一条路径，其中所有边的剩余容量都大于零。我们可以沿着这条路径增加流量，直到不能再增加为止。反复寻找增广路径，直到不存在增广路径为止。

寻找增广路径的方法可以采用广度优先搜索或深度优先搜索。在本文中，我们采用广度优先搜索的方法。

具体实现中，我们可以采用 DFS 或 BFS 标明出发点，增广路径上的最小容量，并更新剩余容量。之后回到起始点，重新开始。如果不存在增广路径，则算法结束，此时最大流量即为已分配的总流量。

代码实现

以下为 Python 实现的 Ford-Fulkerson 算法代码：

def bfs(s, t, parent):
    # 创建一个记录是否访问过的 bool 数组
    visited = [False] * len(graph)
    visited[s] = True
    
    # 创建一个储存前面找到的路径上的最小值的数组
    min_capacity = [float("inf")] * len(graph)
    
    # 创建队列并将起点加入其中
    queue = []
    queue.append(s)
    
    while queue:
        # 取出队首元素
        u = queue.pop(0)
        
        # 遍历该节点的所有邻居节点
        for ind, val in enumerate(graph[u]):
            if visited[ind] is False and val > 0:
                visited[ind] = True
                parent[ind] = u
                min_capacity[ind] = min(min_capacity[u], graph[u][ind])
                
                if ind == t:
                    return min_capacity[t]
                
                queue.append(ind)
                
    return 0

    
def ford_fulkerson(source, sink):
    parent = [-1] * len(graph)
    max_flow = 0
    
    while True:
        # 找到增广路径，存储路径上的最小容量于 flow
        flow = bfs(source, sink, parent)
        
        # 如果不存在增广路径，则结束算法
        if flow == 0:
            break
        
        # 更新剩余容量
        v = sink
        while v != source:
            u = parent[v]
            graph[u][v] -= flow
            graph[v][u] += flow
            v = u
        
        # 更新最大流量
        max_flow += flow

    return max_flow

总结

Ford-Fulkerson 算法是解决最大流量问题的一种经典算法，在实际应用中具有广泛的应用价值。其基本思路在反复寻找增广路径，具体实现上，我们可以采用广度优先搜索的方法来寻找增广路径。代码实现上，我们需要记录起点到当前节点的路径和路径上的最小容量，并不断更新剩余容量和最大流量。