计算从起始石到达终点的方式，每一步最多跳 K 次

在解决跳石子问题时，我们需要考虑每一步跳跃的最大距离，通常情况下是只能跳过相邻的一个石子。但是如果我们设定每一步最多可以跳 K 次，就会有更多的跳跃选择，可以得到更多的可行方案。本文将介绍在这种条件下如何计算从起始石到达终点的方式。

方法

设 $a_i$ 表示第 $i$ 个石头的位置，$dp_i$ 表示从 $a_1$ 出发到达位置 $a_i$ 的方案数。则有如下递推式：

$$ dp_i = \sum\limits_{j=1}^{k} dp_{i-j} \quad (a_i - a_{i-j} \leq k) $$

上式表示从前 $i-1$ 个石头出发能够到达第 $i$ 个石头的方案数，是从前 $i-j$ 个石头出发能到达第 $i$ 个石头的方案数之和，其中 $j$ 的取值范围是 $1$ 到 $k$，且 $a_i - a_{i-j} \leq k$。

代码

下面是用 Python 实现的跳石子问题程序，其中涉及到了上述递推式的计算。

def jump_stones(n: int, k: int, stones: List[int]) -> int:
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, k+1):
            if i - j >= 0 and stones[i] - stones[i-j] <= k:
                dp[i] += dp[i-j]
    return dp[n-1]

对于给定的 $n$、$k$ 和石头位置列表 $stones$，该函数计算起始石到达终点的方案数。其中 $dp$ 列表存储了从起点到达每个位置的方案数，初始化为 $1$ 表示只有一种方案从起点到达第一个石头，然后根据递推式计算每个位置的方案数。最终返回 $dp[n-1]$ 表示从起点到达终点的方案数。

总结

在跳石子问题中，限制每一步最多跳 $k$ 次可以得到更多的跳跃选择，从而增加可行方案数。利用递推式计算从起始石到达终点的方案数可以解决该问题。