正好有 k 个硬币的路径数

当我们面对一堆问题时，我们有时需要找到解决问题的路径数量。给定已有的硬币数量 k，本文将介绍如何计算走过恰好k个硬币的路径数量。

问题陈述

我们有一个无向图 G 和其上的一些硬币。玩家从图的起点出发，并走过一些边来收集硬币。我们的任务是确定有多少种路径可以收集精确的 k 枚硬币。假设每个节点最多是与其他5个节点相连（5度图）。

解决方案

我们将使用递归/深度优先搜索来解决这个问题。

我们从图的起点开始，访问所有连接的顶点，并将其作为新的起点递归遍历，直到我们的路径累计到 k 枚硬币（退出条件），或者我们无法访问任何新节点（我们到达了无解的路径，即没有硬币在此路径中）。

我们的算法确保收集所有可能硬币数量的路径（从 0 到 k 枚硬币），并将它们返回给调用函数。

代码实现

下面是一个使用 Python 实现的简短示例。

def count_coin_paths(G, k):
    paths = []
    
    def DFS(node, coins, path):
        if coins == k:
            paths.append(path)
            return
        if coins > k:
            return
        for neighbor in G[node]:
            if neighbor not in path:
                DFS(neighbor, coins+1, path+[neighbor])
            
    for node in G:
        DFS(node, 0, [node])

    return len(paths)

性能分析

该算法会检查每个节点一次，并将每个节点添加到不同路径上，并且不同路径的节点数取决于我们是否达到 k，因此我们说该算法具有线性时间复杂度。

此外，该算法的空间复杂度取决于节点数量、路径数量和 k。我们需要存储路径列表并在需要的时候将其返回。由于我们必须找到每条路径，因此该算法可能具有不同的空间需求。

结论

在这里，我们已经回答了如何计算恰好包含 k 枚硬币的路径数量。我们讨论了使用深度优先搜索进行递归算法的例子。该算法的性能表现良好，适用于中等大小（例如，不超过数千个节点或边的）无向图。