有多少长度为 9 的位字符串正好有 4 个 0？

排列和组合是数学的一个分支，它处理从整个集合中选择项目子集的研究。在组合中，项目的选择顺序无关紧要。这些项目可以重新排列为所需的格式。例如，有三个字母 A、B 和 C。如果我们必须从中选择两个字母，那么我们就有 AB、BC 和 AC。这里，AB的选择等价于BA的选择。

但是，如果数字太大，则无法手动完成这些计算。因此，我们有，

ⁿC_r = $\frac{n!}{r! (n-r)!}$

where n = total items to pick

r = the items to choose

因此，在状态示例中，

ⁿ C _r = ³ C ₂

= $\frac{3!}{2! * (3-2)!} \\ \frac{3!}{2!} \\ \frac{3 * 2!}{2!} \\ 3$

有多少长度为 9 的位字符串正好有 4 个 0？

解决方案：

We have,

Total number of places to choose from = 9 

The number of places to fill with 0’s = 4

Therefore, we have to fill 4 places with 0’s out of a total of 9 places.

According to the formula of combinations, where order of selection doesn’t matter. 

ⁿC_r = $\frac{n!}{r! (n-r)!}$

where n = total items to pick

r = the items to choose

Upon substituting the values we get,

=$\frac{9!}{4! (9-4)!} \\ \frac{9!}{4! (5)!} \\ \frac{9*8*7*6*5!}{5!*4!} \\ \frac{9*8*7*6}{4*3*2*1} \\ 3*7*6 \\ 126$

Therefore, 

There are 126 ways to have 9-bit strings containing exactly 4 0’s. 

类似问题

问题 1. 从 9 男 12 女的办公室中选出一个 7 男 10 女的项目团队有多少种方法？

解决方案：

Here we have to find that in how many ways a project team can be selected in an office.

Thus,

To choose 7 men from 9 men

⇒ ⁹C₅ ways = 9!/(9-5)!5!

⇒ 9!/4!5!

⇒ 9 × 8 × 7 × 6 × 5!/4 × 3 × 2 × 1 × 5!

⇒ 3024/24

= 126

Further,

To choose 10 women from 12 women

⇒ ¹²C₁₀ = 12!/(12 – 10)!10!

⇒ 12 × 11 × 10!/2!10!

⇒ 132/2

⇒ 66

Therefore

The project team can be chosen in the

⇒ 66 × 126 ways

⇒ 8316 ways

问题 2. 找出 C(25, 23)。 C(n, r) = n!/(n – r)!r!

解决方案：

Here we have,

n = 25

r = 23

Substituting the values of n and r in C(n, r) = n!/(n – r)!r!

⇒ C(25, 23) = 25!/(25 – 23)!23!

⇒ C(25, 23) = 25!/(2)!23!

⇒ C(25, 23) = 25 × 24 × 23!/2! × 23!

⇒ C(25, 23) = 25 × 24/ 2

⇒ C(25, 23) = 600/2

⇒ C(25, 23) = 300

Therefore,

⇒ C(25, 23). C(n,r)=n!/(n – r)!r! = 300

问题3.找出6个小灯和8个大灯的吊灯有多少种灯，可以从8个小灯和10个大灯中选择？

解决方案：

Here we have to select lights for the chandelier

First finding the selection for small lights

Selecting, 6 small lights from 8 small lights

⇒ ⁸C₆ = 8!/(8-6)!6!

⇒ 8!/2!6!

⇒ 8 × 7 × 6!/2 × 1 × 6!

Solving

⇒ 56/2

⇒ 28

⇒ ⁸C₆ = 28

Therefore,

Small lights can be selected in 28 ways

Further selecting big lights

Selecting, 8 big lights from 10 big light

⇒ ¹⁰C₈ = 10!/(10 – 8)!8!

⇒ 10!/2!8!

⇒ 10 × 9 × 8!/2 × 1 × 8!

Solving

⇒ 90/2

⇒ 45

¹⁰C₈ = 45

Thus,

Big lights can be selected in 45 ways

Therefore,

Small and big lights in a chandelier can be selected in

⇒ 28 × 45

⇒ 1260 ways

问题 4. 找出 C(15, 13)。 C(n, r) = n!/(n – r)!r!

解决方案：

Here we have,

n = 15

r = 13

Substituting the values of n and r in C(n, r) = n!/(n – r)!r!

⇒ C(15, 13) = 15!/(15 – 13)!13!

⇒ C(15, 13) = 15!/(2)!13!

⇒ C(15, 13) = 15 × 14 × 13!/2! × 13!

⇒ C(15, 13) = 15 × 14/2

⇒ C(15, 13) = 210/2

⇒ C(15, 13) = 105

Therefore,

⇒ C(15, 13). C(n,r)=n!/(n – r)!r! = 105

问题 5. 找出 C(50, 47)。 C(n, r) = n!/(n – r)!r!

解决方案：

Here we have,

n = 50

r = 47

Substituting the values of n and r in C(n, r) = n!/(n – r)!r!

⇒ C(50, 47) = 50!/(50 – 47)!47!

⇒ C(50, 47) = 50!/(3)!47!

⇒ C(50, 47) = 50 × 49 × 48 × 47!/3! × 47!

⇒ C(50, 47) = 50 × 49 × 48/3 × 2

⇒ C(50, 47) = 117600/6

⇒ C(50, 47) = 19600

Therefore,

⇒ C(50, 47). C(n,r)=n!/(n – r)!r! = 19600