UGC NET CS 2017 年一月至三日 |问题 13

UGC NET CS 2017 年一月至三日是印度全国大学委员会进行的计算机科学领域的考试，而问题 13 是其中的一道题目。该题目要求考生根据给定的函数，实现一个排序算法，在不使用任何其他数据结构的情况下将输入的数组按照升序排序。以下是该题目的具体描述：

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $arr$ 和一个正整数 $k$，实现一个排序算法，使得输入的数组按照升序排序。程序不可以使用任何其他的数据结构，空间复杂度必须为 $O(1)$，时间复杂度不超过 $O(n \log n)$。

解题思路

该问题要求我们实现一个时间复杂度不超过 $O(n \log n)$ 的排序算法，并且不能使用任何其他的数据结构，因此我们需要考虑使用一种原地排序算法来解决该问题。常见的原地排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、快速排序、堆排序等。对于本题，我选择使用经典的堆排序算法来解决。

堆排序算法的基本思想是将待排序序列构建成一个大根堆或小根堆，然后将堆顶元素（即最大值或最小值）与数组中的最后一个元素交换位置，然后将剩余元素重新调整为一个大根堆或小根堆，再重复上述过程，直到所有元素都被排序。

以下是堆排序算法的具体实现步骤：

1. 构建大根堆或小根堆：从最后一个非叶子节点开始，依次将其和其子节点进行比较，将最大（小）元素调整到父节点处。然后依次向前遍历所有非叶子节点，完成堆的构建。

2. 排序：将堆顶元素与数组中的最后一个元素交换位置，然后将剩余元素重新调整为大根堆或小根堆。依次重复此过程，直到所有元素都被排序。

具体实现请见代码：

def heapify(arr, n, i):
    """
    构建大根堆或小根堆
    :param arr: 待排序序列
    :param n: 堆的大小
    :param i: 非叶子节点的下标
    """
    largest = i  # 初始化根节点为最大（小）值
    left = 2 * i + 1
    right = 2 * i + 2

    # 找出左右子节点中的最大（小）值
    if left < n and arr[left] > arr[largest]:
        largest = left
    if right < n and arr[right] > arr[largest]:
        largest = right

    # 如果存在左右节点的值大于根节点的值，则进行交换
    if largest != i:
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        heapify(arr, n, largest)


def heap_sort(arr):
    n = len(arr)

    # 构建大根堆
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, n, i)

    # 排序
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i]  # 交换堆顶元素和最后一个元素
        heapify(arr, i, 0)  # 重新构建堆

    return arr

总结

本题要求我们实现一个时间复杂度不超过 $O(n \log n)$ 的排序算法，并且不能使用任何其他的数据结构，因此我们选择了堆排序算法来解决该问题。堆排序算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(1)$，适用于数据量较大的排序场景，但由于存在大量的数据交换操作，因此相比其他的原地排序算法，其性能略逊一筹。