奇数和的子数组数

介绍

在一个整数数组中，找出所有奇数和的子数组数。即求出所有满足条件$\sum_{i=j}^{k}a_i$为奇数的(j,k)对数目。

解法

方法一：暴力枚举

我们可以使用两重循环枚举子数组的起始和终止位置，然后在这个区间内累加和，并判断这个和是否为奇数。

时间复杂度：$O(n^3)$，这个算法显然是过不去的。

方法二：前缀和

我们可以预处理出前缀和pre_sum，即pre_sum[i]表示原数组中前i个数的和。这样，从i到j的子数组的和为：pre_sum[j] - pre_sum[i-1]，这个时间复杂度是$O(n)$，可以在$O(n^2)$的时间复杂度内完成求解。

但我们注意到如果对于两个奇数前缀和的差pre_sum[i-1]-pre_sum[j-1]，它也是奇数。如果我们统计前面奇数前缀和的个数odd，则对于每一个当前前缀和even，可以得到odd种奇数前缀和，从而可以获得odd个满足条件的子数组。

我们可以使用一个map记录odd个奇数前缀和的出现次数，遍历到当前前缀和时，累加odd即可。同时，记录pre_sum[i-1] % 2为奇数的i-1的个数odd和偶数的i-1的个数even即可。

时间复杂度：$O(nlogn)$，因为使用map构建哈希表时，插入和查找时间复杂度都是$O(logn)$的。

以下是代码片段（使用C++语言实现）：

int pre_sum = 0, res = 0, odd = 0, even = 1;
unordered_map<int, int> mp{{0, 1}};
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
    pre_sum += nums[i];
    if(pre_sum % 2 == 0) res += odd;
    else res += mp[pre_sum%2];
    ++mp[pre_sum % 2];
}

总结

本文介绍了解决奇数和子数组数问题的两种方法。暴力枚举虽然实现简单，但时间复杂度较高；前缀和方法使用了哈希表对奇数前缀和进行记录，降低了时间复杂度。