以 1 开始和结束并在中间填充 0 的最长子序列

问题描述

给定一个仅由0和1组成的序列，找到其中一段以1为开头和结尾，并且中间只包含0的最长子序列。

例如，对于序列 1010010001，最长子序列为 1000，长度为4。

解决方案

暴力解法

可以使用两个循环来遍历所有可能的子序列，并判断它是否符合要求。时间复杂度为$O(n^2)$。

def find_longest_sequence(s):
    n = len(s)
    max_len = 0
    for i in range(n):
        if s[i] == "1":
            for j in range(i+1, n):
                if s[j] == "1":
                    if "0" not in s[i+1:j]:
                        max_len = max(max_len, j-i-1)
    return max_len

动态规划

可以使用一个数组 $dp$ 来记录以每个位置结尾的最长子序列长度。转移方程为：

$$ \begin{cases} dp[i]=0 & \text{$s[i] = 0$}\ dp[i]=dp[i-1]+1 & \text{$s[i]=1$ and $s[i-1]=1$}\ dp[i]=dp[i-1] & \text{$s[i]=1$ and $s[i-1]=0$} \end{cases} $$

最终结果为 $dp$ 数组中的最大值。时间复杂度为$O(n)$。

def find_longest_sequence(s):
    n = len(s)
    dp = [0] * n
    for i in range(1, n-1):
        if s[i] == "1" and s[i-1] == "1":
            dp[i] = dp[i-1] + 1
        elif s[i] == "1":
            dp[i] = dp[i-1]
    return max(dp)

测试样例

assert find_longest_sequence("1010010001") == 4
assert find_longest_sequence("11111") == 0
assert find_longest_sequence("000111000") == 3

总结

本文介绍了两种解决方案：暴力解法和动态规划。其中，动态规划的时间复杂度更低，是一种更优秀的解决方案。