满足给定属性的堆叠元素的最大平方和

什么是堆叠元素？

堆叠元素（英文名：stacked elements）是指一组具有相同的高度，但宽度和深度不同的矩形。这些矩形按照一定的顺序堆叠在一起，可以看做是一个三维图形。在计算机图形学中，常常使用堆叠元素来表示多层的渲染效果。

问题描述

在一个堆叠元素的序列中，每个元素都有一个属性 $a_i$，表示它的面积。现在要求从序列中选取若干个元素组成一个子序列，使得他们的高度相等，且它们的面积平方之和最大。请设计一个算法，求解这个问题。

解题思路

对于这道问题，我们可以分别考虑面积的大小和高度的限制。

首先，我们对所有的元素按照面积从大到小进行排序。这样可以保证在后续的过程中，我们始终选择面积最大的元素，从而使得面积平方之和最大。

然后，我们从大到小枚举高度 $h$，并考虑满足高度限制 $h$ 的所有元素。对于每一个高度 $h$，我们维护一个数组 $dp_i$，表示选取前 $i$ 个元素，满足高度限制 $h$ 的最大面积平方和。

对于每个元素 $i$，我们需要找到相邻的一个元素 $j$，使得 $h \leq \frac{a_j}{w_j}$，并满足 $dp_j + a_i^2 > dp_i$。这时我们就可以更新 $dp_i$ 的值。

最终的答案即为所有 $dp_i$ 中的最大值，表示选择元素的最大面积平方和。

算法实现

我们可以使用动态规划来实现上述算法。

def max_square_sum(stacked_elements):
    # 按面积从大到小排序
    stacked_elements.sort(reverse=True)

    # dp[i][h] 表示选取前 i 个元素，满足高度限制为 h 的最大面积平方和
    n = len(stacked_elements)
    dp = [[0 for _ in range(1001)] for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        for h in range(1, 1001):
            # 找到相邻的元素 j，满足高度限制
            j = i - 1
            while j >= 0 and (stacked_elements[j].area // h) >= stacked_elements[i].width:
                j -= 1

            # 更新 dp[i][h]
            if j >= 0:
                dp[i][h] = max(dp[j][h] + stacked_elements[i].area ** 2, dp[i - 1][h])
            else:
                dp[i][h] = max(stacked_elements[i].area ** 2, dp[i - 1][h])

    # 返回结果
    return max([max(dp[i]) for i in range(n)])

性能分析

上述算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 表示元素的个数。空间复杂度为 $O(n)$。

实际运行中，由于只需要枚举 $h$ 的值，因此算法的时间复杂度有可能远低于 $O(n^2)$。同时，由于元素的个数通常不会太大，因此算法的空间复杂度也不会带来太大的问题。