使用更新计算数组的按位与的查询

简介

按位与是一种位运算，按位与操作符将两个操作数中对应的位相与。如果两个相应位均为1，则该位的结果为1；否则结果为0。

在程序中，我们有时需要查询在一段区间内所有数的按位与结果。通常的做法是遍历这个区间，依次对每个数进行按位与操作，最后得到结果。但是，当区间范围过大时，这种做法的效率会很低。下面我们介绍一种使用更新计算数组的方法来高效地解决这个问题。

方法

我们可以使用一个数组来记录区间范围内所有数的按位与结果。对于区间的左端点l和右端点r，我们可以把所有数的二进制表示看成一个长度为32的01串，对于第i位，我们可以使用一个值为2^(i-1)的记忆化数组ans来记录该位上的按位与结果。具体地，当区间内所有数的二进制表示的第i位上都是1时，ans[i]的值就是2^(i-1)，否则ans[i]的值就是0。接下来，我们只需要遍历ans数组，将所有非零元素相与即可得到区间范围内所有数的按位与结果。

但是，要实现这种算法，我们需要用到更新计算数组。对于每个参与计算的数，我们都需要对ans数组中对应的元素进行更新。具体来说，对于第i位上是1的数，我们需要将ans[i]加上该数的值；对于第i位上是0的数，我们不需要进行任何操作。由于可能有多个数同时参与计算，我们需要在时间复杂度为O(1)的情况下对ans数组进行更新。这可以通过使用差分数组来实现。

代码实现

下面是使用C++实现该算法的代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> ans(32, 0); // 定义长度为32的ans数组

void update(int x) { // 更新ans数组，x是参与计算的数
    for (int i = 0; i < 32; i++) {
        if ((x >> i) & 1) { // 若第i位上是1，则将ans[i]加上x的值
            ans[i] += x;
        }
    }
}

int query() { // 查询区间范围内所有数的按位与结果
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 32; i++) {
        if (ans[i] == (1 << i)) { // 若第i位上所有数的值都是1，则将该位的值加到结果中
            res += (1 << i);
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    int n, l, r;
    cin >> n >> l >> r;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        update(x);
    }
    int res = query();
    cout << res << endl;
    return 0;
}

在该代码示例中，我们定义了ans数组和两个函数：update和query。update函数用于更新ans数组，query函数用于查询区间范围内所有数的按位与结果。在main函数中，我们先读入n、l和r三个变量，分别表示输入的数的个数、区间左端点和右端点。然后，我们遍历输入的n个数，把每个数都传入update函数进行更新。最后，我们调用query函数查询结果，并输出。

总结

使用更新计算数组的方法可以高效地计算区间范围内所有数的按位与结果。这种方法的时间复杂度为O(nlogm)，其中n为区间内的数的个数，m为数的最大值。使用差分数组来实现更新操作可以在O(1)的时间内完成。此外，我们在计算过程中使用记忆化数组来记录每个数的按位与结果，可以避免重复计算，进一步提高了效率。