求数组的最大分区和

在给定一个正整数数组和一个正整数D的情况下，需求分割数组D次，使分割后分区的最大值最小，返回分区后的最大值。

问题分析

在这个问题中，我们需要尝试划分数组，因此得到一个重要的贪心算法提示：

若a[i]+a[i+1]+...+a[j-1]+a[j]>limit, 选择一个新的i从j迭代

使用一个贪心算法，我们可以迭代数组中的每一个元素，进行如下步骤：

1. 用i标注起始点，用1标注使用的分区数量，用sum标注当前分区的和。在数组中迭代j。
2. 如果a[j]+sum<=mid，我们可以尝试将j添加到当前分区中，更新sum并继续迭代j。否则，我们需要选择一个新的i使得新的分区的最大值小于mid。
3. 对于步骤2中的每一个i，增加计数器；直到达到D时，意味着我们得到了一个可行解。

但是，这个算法的时间复杂度是O(N^2)，会超时，因此需要优化。通过使用动态规划的思想，我们可以将算法复杂度降到O(Nlog(sum))。

动态规划实现步骤

可以发现，这个问题与“给定一个目标值，找到不大于目标值的子区间的个数”非常相似。因此，我们可以将原问题转化为找到分割的数量使得不大于目标值子区间的个数最大，然后尝试用二分查找来确定最小可能值。

在确定最小可能值T之后，我们可以使用贪心算法来检查是否可以分割为D个分区，所以我们可以通过以下步骤得出最小可能值T：

1. 首先，计算最大与最小可能值为[1，sum]的二分查找。
2. 用一个循环计算相应的middle值。
3. 对于每个middle值，我们可以通过贪心算法检查其是否足够分割成D个区域。

最终，我们将得出最小可能值T，该值是使得数组的最多D个分区具有最多和T的可能值。

代码实现

 def max_sum(list1, m):
    """
    :param list1: List[int]  正整数数组
    :param m: int            分割次数
    :return: int             分割后分区的最大值的最小可能值
    """
    low, high = 0, sum(list1)  # 取 low = 0， high = 整个数组之和
    res = 0
    while low <= high:
        mid = (low + high) // 2  # 取 low 到 high 的中间值，用于检查是否符合条件
        if check(list1, m, mid):   # 如果符合条件
            res = mid   # 更新分割后各分区的最大值，如果满足，更新res，到上面的else条件会继续查找更小的res最小可能值
            high = mid - 1  # 向左侧缩小查找最小可能的值
        else:
            low = mid + 1  # 向右侧查找
    return res   # 返回最小可能值


def check(list1, m, x):
    cnt = 1   # 初始的子数组个数是1
    sumvalue = 0   # sumvalue 加上当前元素后，小于等于x的最大子数组和
    for value in list1:
        if sumvalue + value <= x:
            sumvalue += value    # 如果小于等于mid，则将当前值加到当前子数组中
        else:
            cnt += 1           # 如果大于mid，则当前值无法加入到当前数组，开启新的数组。由于题目求的是最小可能的值，
            # 当前最大的最优解应该是属于最后面的数组，所以新建一个数组表示从此位置开始的下一个新子数组,并记录cnt
            sumvalue = value   
    return cnt <= m  # 如果划分子数组的数量大于 m，返回False，继续在右边查找满足 mid 的最小可能值，
    #  如果划分子数组的数量小于等于 m，返回True， 往左缩小查找最小可能的值

总结

使用动态规划的思想，我们可以将标签分割更改为了查找子区间的最大和。通过两种算法的组合，我们得到了O（N log n）的解决方案。虽然涉及到一些复杂的计算，但总体来说，这样的问题并不难以解决，因此，这个算法很常用，是个IQ题目。当人们试图教授他们的一些复杂的编程问题时，他们最常用的就是分割相关问题，因为分割问题往往涉及递归和数组计算。