使二进制矩阵对称所需的最小翻转

对于一个二进制矩阵，在保持行不变的情况下，如果要使其对称，我们需要翻转一些列。本文介绍了如何求出使二进制矩阵对称所需的最小翻转数。

算法分析

假设输入的矩阵为 $A$，行数为 $m$，列数为 $n$。我们可以从左往右遍历 $A$ 的每一列，如果这一列的左右两边的值不同，那么我们就需要翻转这一列，使其对称。具体地，我们可以对于每一列，按照从上到下的顺序统计它上半部分和下半部分不同的格子个数，取二者的最小值，作为这一列要翻转的次数。最终，我们对每一列的翻转次数求和，即可得到使 $A$ 对称所需的最小翻转数。

时间复杂度为 $O(mn)$。

代码如下：

def min_flips(A: List[List[int]]) -> int:
    m, n = len(A), len(A[0])
    ans = 0
    for j in range(n):
        cnt = sum(A[i][j] != A[m - i - 1][j] for i in range(m // 2))
        ans += min(cnt, m - cnt)
    return ans

需要注意的是，如果 $m$ 是奇数，那么中间一列不需要翻转。

总结

本文介绍了使二进制矩阵对称所需的最小翻转算法，该算法时间复杂度为 $O(mn)$，具有实际应用价值。