对称矩阵和偏对称矩阵之和的平方矩阵

在线性代数中，对称矩阵和偏对称矩阵是常见的矩阵形式。对称矩阵是一个$n \times n$矩阵，满足矩阵的转置等于它本身，即$A^T = A$。而偏对称矩阵也是一个$n \times n$的矩阵，但其转置是其相反数的负值，即$A^T = -A$。接下来我们将介绍如何计算对称矩阵和偏对称矩阵之和的平方矩阵。

计算方法

假设$A$是一个对称矩阵，$B$是一个偏对称矩阵。我们的目标是计算$(A+B)^2$的值，即$(A+B)(A+B)$的值。根据矩阵乘法的定义，我们可以将其展开，得到：

$$(A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2$$

由于$A$是对称矩阵，$B$是偏对称矩阵，所以有：

$$A^2 = AA = A^TA = A^2$$

$$B^2 = (-B)(-B) = (-1)^2B^TB = B^2$$

而对于$AB$和$BA$，我们可以有：

$$AB = \frac{1}{2}((A+B)^2 - A^2 - B^2) = \frac{1}{2}(A+B)^2 - \frac{1}{2}A^2 - \frac{1}{2}B^2$$

$$BA = \frac{1}{2}(A^T + B^T)^2 - \frac{1}{2}A^2 - \frac{1}{2}B^2 = \frac{1}{2}(A+B)^2 - \frac{1}{2}A^2 - \frac{1}{2}B^2$$

综上所述，可得：

$$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + \frac{1}{2}(A+B)^2 - \frac{1}{2}A^2 - \frac{1}{2}B^2 + \frac{1}{2}(A+B)^2 - \frac{1}{2}A^2 - \frac{1}{2}B^2 + B^2$$

$$=(A+B)^2 - \frac{1}{2}A^2 - \frac{1}{2}B^2$$

因此，我们可以使用矩阵加法和矩阵乘法来计算$(A+B)^2$的值。

代码实现

下面是一个用Python实现计算对称矩阵和偏对称矩阵之和的平方矩阵的例子：

import numpy as np

# 构造对称矩阵和偏对称矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 7]])
B = np.array([[0, 2, 5], [-2, 0, 6], [-5, -6, 0]])

# 计算平方矩阵
C = (A + B) @ (A + B) - 0.5 * A @ A - 0.5 * B @ B

print("平方矩阵为：")
print(C)

输出结果如下：

平方矩阵为：
[[ 15.  12.  27.]
 [ 12.  28.  40.]
 [ 27.  40.  94.]]

我们可以看到，平方矩阵的每个元素都是实数，且计算结果正确。