最大化给定数组中最长递增子序列的长度

简介

最长递增子序列问题（Longest Increasing Subsequence，LIS）是指给定一个序列，求出这个序列中最长的递增子序列的长度。

方法

动态规划

最长递增子序列有一个常见的动态规划解法，时间复杂度为 $O(n^2)$。

设 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的最长递增子序列长度，则转移方程为：

$$ dp[i] = \max{dp[j] + 1 | j < i, a[j] < a[i]} $$

其中 $a$ 表示原序列，$| $ 表示取 $\max$ 函数的返回值。简单实现代码如下：

def lis_dp(arr):
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

二分查找

上述动态规划解法的时间复杂度较高，可以使用二分查找来优化，时间复杂度为 $O(n \log n)$。

首先定义一个辅助数组 $d$，其中 $d[i]$ 表示长度为 $i+1$ 的递增子序列的最后一个元素的最小值。在迭代序列中添加每个元素时，如果该元素 $x$ 大于辅助数组中的最大值，则将 $x$ 插入到辅助数组最后；否则，在辅助数组中查找第一个大于等于 $x$ 的元素 $pos$，并将其替换为 $x$。这样，辅助数组的长度就是原序列的最长递增子序列长度。

实现代码如下：

import bisect

def lis_bisect(arr):
    d = []
    for x in arr:
        pos = bisect.bisect_left(d, x)
        if pos == len(d):
            d.append(x)
        else:
            d[pos] = x
    return len(d)

总结

在实际应用中，LIS 问题的时间复杂度优化十分重要，常用的方法有动态规划和二分查找。两种方法的时间复杂度分别为 $O(n^2)$ 和 $O(n \log n)$。对于较大的序列，使用二分查找优化可以大大缩短计算时间。