最长递增子序列

最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个子序列，使得这个子序列中所有元素都是递增的，并且长度最长。

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题，具体做法是将原始序列转化成一个新的序列，然后再求新序列的最长递增子序列的长度。

状态定义

定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。

状态转移方程

对于每个元素 nums[i]，从 dp[0] 到 dp[i-1] 中找到一个最大的 dp[j]，满足 nums[j] < nums[i]，然后将 dp[i] 设置为 dp[j]+1。

遍历完整个数组，最终 dp 数组中的最大值即为所求。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

def lengthOfLIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

时间复杂度

上面的代码中，我们使用了两层循环，时间复杂度为 O(n^2)。

总结

最长递增子序列是一个经典的问题，使用动态规划可以很好地解决这个问题。在实际应用中，最长递增子序列可以用来解决一些最优化问题，比如最长不降子序列或者最长上升子序列等等。