最大化给定数组中最长递增质数子序列的长度

介绍

本文将探讨如何在给定的数组中找到最长递增质数子序列的长度，并且最大化这个长度。本问题是一个经典的求解最长递增子序列问题的变种，在这个问题中，需要额外考虑每个子序列的质数特性。

思路

对于求解最长递增子序列问题，有一种动态规划的解法。我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个数结尾的最长递增子序列的长度。对于每个 i，需要找到前面所有小于它的数中，能组成最长递增子序列的那个数，并在它的基础上加1。这个过程可以用两个嵌套的循环来完成。具体来说，对于第 i 个数，我们需要枚举前面所有小于它的数 j，选择满足 nums[i] > nums[j] 且 dp[i] < dp[j] + 1 的 j 转移。

对于本题，在动态规划过程中需要加入对质数的判断。具体来说，我们需要在枚举 j 的时候，判断 nums[j] 是否为质数。如果不是质数，直接跳过。如果是质数，才进行类似于求最长递增子序列的转移。

代码实现

下面是 Java 语言的代码实现，返回最大化长度。这里使用了筛法求质数，增加了代码的效率和可读性。

public int findMaxPrimSubsequenceLength(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    // dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增质数子序列长度
    int[] dp = new int[n];
    int maxLen = 1; // 最大长度初始化为 1
    dp[0] = 1; // 第一个数的最长递增质数子序列长度为 1
    boolean[] isPrime = getPrimes(nums); // 用数组标记每个数是否为质数
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i] = 1; // 初始化为 1
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j] && isPrime[nums[j]]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]); // 更新最大长度
    }
    return maxLen;
}

private boolean[] getPrimes(int[] nums) {
    int maxNum = 0;
    for (int num : nums) {
        maxNum = Math.max(maxNum, num);
    }
    boolean[] isPrime = new boolean[maxNum + 1]; // 初始化为 false，即所有数都不是质数
    Arrays.fill(isPrime, true); // 所有数先默认为质数
    isPrime[0] = false;
    isPrime[1] = false;
    // 筛法求质数
    for (int i = 2; i * i <= maxNum; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= maxNum; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
    return isPrime;
}

复杂度分析

如果最大的数是 maxNum，求质数的时间复杂度为 $O(\sqrt{maxNum} \times \log \log maxNum)$，动态规划的时间复杂度为 $O(n^2)$。因此总时间复杂度为 $O(n^2)$。空间复杂度为 $O(n)$，主要用于存储 dp 数组和是否为质数的数组。