检查二叉树的节点是否形成算术、几何或调和级数

对于一个二叉树，我们可以对其进行遍历，统计节点之间的关系，然后判断是否形成算术、几何或调和级数。

算术、几何和调和级数是什么？

算术级数

所谓算术级数，就是等差数列的和。即：

$$S_n= \sum_{i=1}^{n}a_i = (\dfrac{a_1+a_n}{2}) \times n$$

其中，$a_1$为首项，$a_n$为末项，$n$为项数。

几何级数

所谓几何级数，就是等比数列的和。即：

$$S_n = \sum_{i=1}^{n}a_1q^{i-1}= \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

其中，$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数。

调和级数

所谓调和级数，就是倒数数列的和。即：

$$S_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i} $$

实现思路

对于一个二叉树，我们考虑使用递归进行遍历，每次遍历时统计节点之间的关系，判断是否符合算术、几何或调和级数的性质。

具体实现步骤如下：

1. 定义一个traverse函数，用于遍历整个二叉树，同时传入一个path列表记录当前遍历路径上的节点值。

2. 在traverse函数中，对于当前节点，如果其为叶子节点，则将path列表中所有节点之间的差值存入一个diffs列表中，并返回diffs。

3. 如果当前节点不是叶子节点，则递归遍历其左右子节点，并将左右子节点返回的diffs列表进行合并，得到当前节点的diffs列表。

4. 在得到完整的diffs列表后，我们判断其是否为等差数列、等比数列或倒数数列，如果是，则说明节点值存在算术、几何或调和关系，返回True，否则返回False。

通过以上方法，我们就可以检查一个二叉树的节点是否形成了算术、几何或调和级数。

代码实现

def is_arithmetic(nums):
    if len(nums) <= 2:
        return True
    diff = nums[1] - nums[0]
    for i in range(1, len(nums)):
        if nums[i] - nums[i-1] != diff:
            return False
    return True

def is_geometric(nums):
    if len(nums) <= 2:
        return True
    q = nums[1] / nums[0]
    for i in range(1, len(nums)):
        if nums[i] / nums[i-1] != q:
            return False
    return True

def is_harmonic(nums):
    for i in range(len(nums)):
        if nums[i] == 0:
            return False
        nums[i] = 1 / nums[i]
    return is_arithmetic(nums)

def traverse(node, path):
    if not node.left and not node.right:
        diffs = []
        for i in range(1, len(path)):
            diffs.append(path[i] - path[i-1])
        return diffs
    left_diffs, right_diffs = [], []
    if node.left:
        left_diffs = traverse(node.left, path + [node.left.val])
    if node.right:
        right_diffs = traverse(node.right, path + [node.right.val])
    return left_diffs + right_diffs

def check_series(root):
    diffs = traverse(root, [root.val])
    if is_arithmetic(diffs):
        return "算术序列"
    elif is_geometric(diffs):
        return "几何序列"
    elif is_harmonic(diffs):
        return "调和序列"
    else:
        return False

结论

通过以上实现，我们可以检查一个二叉树的节点是否形成了算术、几何或调和级数，并返回具体的序列类型。