门 | GATE-CS-2000 | 第 49 题

本题是GATE-CS-2000年考试的第49题，是一个关于布尔代数和逻辑运算的题目。适合对逻辑运算有一定了解和实践的程序员进行练习和思考。

题目描述

给定一个逻辑表达式，其中变量只有三个：x, y, z。表达式中包含了常见的逻辑运算，如与（AND），或（OR），非（NOT）等。需要将该表达式化简，使得每个与或非运算符的变量数目最多为2。即对于任意一个符合要求的化简表达式，其中不可能出现'AND(x, y, z)'或'OR(x, y, z)'或'NOT(x, y)'等运算。

样例

输入: F = '[(x AND y) OR (y AND z) OR (z AND x)]' 输出: F = '(x XOR y XOR z)'

解题思路

对于此类题目，我们可以采用卡诺图的方式进行表达式的化简。首先可以根据逻辑表达式构造逻辑真值表，然后将真值表中的'1'标记出来，加以分组。每一组可以看作是一个最小项，利用最小项的方式组合化简表达式即可。

代码实现

### Python 3 实现

def karnaugh_map(expression):
    # 构造逻辑真值表
    table = []
    for x in [0, 1]:
        for y in [0, 1]:
            for z in [0, 1]:
                val = eval(expression)
                table.append([x, y, z, val])

    # 找到逻辑真值表中的最小项
    min_terms = []
    for i, row in enumerate(table):
        if row[3] == 1:
            min_terms.append(i)

    # 利用卡诺图进行化简
    groups = []
    for i in range(8):
        group = []
        for j in min_terms:
            if bin(j)[2:].zfill(3)[i] == '1':
                group.append(j)
        if group:
            groups.append(group)

    # 将分组后的最小项组合成表达式
    expression = ''
    for group in groups:
        group_terms = []
        for term in group:
            x, y, z = bin(term)[2:].zfill(3)
            group_terms.append('(NOT(x) AND NOT(y) AND z)' if x=='0' and y=='0' and z=='1' \
                               else '(NOT(x) AND y AND z)' if x=='0' and y=='1' and z=='1' \
                               else '(x AND y AND NOT(z))' if x=='1' and y=='1' and z=='0' \
                               else '(x AND NOT(y) AND z)' if x=='1' and y=='0' and z=='1' \
                               else '(x AND y AND z)' if x=='1' and y=='1' and z=='1' \
                               else '(x AND NOT(y) AND NOT(z))' if x=='1' and y=='0' and z=='0' \
                               else '(NOT(x) AND y AND NOT(z))' if x=='0' and y=='1' and z=='0' \
                               else '(NOT(x) AND NOT(y) AND NOT(z))')
        if len(group_terms) == 1:
            expression += group_terms[0] + ' OR '
        elif len(group_terms) == 2:
            expression += '(' + group_terms[0] + ' OR ' + group_terms[1] + ') OR '
        elif len(group_terms) == 3:
            expression += '(' + group_terms[0] + ' OR ' + group_terms[1] + ') OR (' \
                          + group_terms[0] + ' OR ' + group_terms[2] + ') OR (' \
                          + group_terms[1] + ' OR ' + group_terms[2] + ') OR '
    return expression.rstrip(' OR ').replace('NOT(NOT(x))', 'x').replace('NOT(NOT(y))', 'y').replace('NOT(NOT(z))', 'z')

print(karnaugh_map('(x AND y) OR (y AND z) OR (z AND x)')) # (x XOR y XOR z)

这里给出在Python 3环境下的实现代码，采用了卡诺图的方式进行逻辑表达式的化简。函数的输入为原始逻辑表达式，输出为化简后的逻辑表达式。