检查数组上两种给定类型的反转计数是否相等

本文介绍了一个解决问题的算法，该算法可以检查一个数组上是否有两种不同类型的元素，它们的反转计数相等。

什么是反转计数?

反转计数指数组中满足 $i < j$ 且 $a[i] > a[j]$ 的 $(i, j)$ 对数。比如说，下面的数组：

[2, 4, 1, 3, 5]

有三个反转对：$(2,1)$, $(4,1)$ 和 $(4,3)$。这个例子中，反转计数是 $3$。

在排序算法中，常常需要计算反转计数，比如归并排序。然而这篇文章的问题是：如何在一个数组上找到两种不同类型的元素，使得它们的反转计数相等？

问题解决思路

我们可以先将这个数组分为两组不同类型的元素，比如将奇数当做一组，偶数当做一组。然后，我们计算这两组元素的反转计数。

为了简化分析，我们假设这个数组中没有相等的元素。这个假设是合理的，因为如果有相等的元素，那么它们一定不会产生反转计数。

我们可以先预处理出每个元素有几个小于它的元素（也就是每个元素的排名），这可以通过一个基数排序算法实现，时间复杂度是 $O(n)$。注意，这个排名是不区分两个不同类型的元素的。

然后，我们就可以把两组元素看成每组元素的排名，同时，我们可以假设奇数排名是 $x_1,x_2,\dots,x_k$，偶数排名是 $y_1,y_2,\dots,y_l$。这里的 $k$ 和 $l$ 分别是奇数和偶数的个数。

那么，对于每个 $x_i$ 和 $y_j$ 之间，如果 $x_i > y_j$，那么就产生一个反转对。

因此，我们最后的问题可以转化为：对于所有的 $(i,j)$，问有多少个 $(i,j)$ 使得 $x_i > y_j$。

代码实现

下面是基于上面的思路实现的代码：

def reverse_count(arr):
    rank = [0] * len(arr)
    odd, even = [], []

    for i in range(len(arr)):
        if arr[i] % 2 == 0:
            even.append(arr[i])
        else:
            odd.append(arr[i])

    even.sort()
    odd.sort()

    for i in range(len(even)):
        rank[arr.index(even[i])] = i

    for i in range(len(odd)):
        rank[arr.index(odd[i])] = i + len(even)

    count = 0

    for i in range(len(odd)):
        for j in range(len(even)):
            if rank[arr.index(odd[i])] > rank[arr.index(even[j])]:
                count += 1

    return count

def check_reverse_count(arr):
    odd_count = reverse_count([x for x in arr if x % 2 != 0])
    even_count = reverse_count([x for x in arr if x % 2 == 0])
    
    return odd_count == even_count

这个代码先将数组分为奇数和偶数两组，然后分别计算这两组元素的排名数组。接着，我们遍历所有的 $(i,j)$，计算反转对的个数。

最后，我们将奇数和偶数的反转计数比较，返回结果是否相等即可。