子集求和问题的 PHP 程序 | DP-25

本程序用 PHP 语言实现了经典的动态规划问题，即子集求和问题（Subset Sum Problem）。在给定一个集合和一个目标数值的情况下，判断是否可以用集合中的数字加起来等于目标数值。

算法实现

本程序采用动态规划的方法实现子集求和问题。定义 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个数字中是否存在一些数字的和为 $j$。则可以根据前面已有的结果，得到当前的结果（状态转移方程）：

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] ~~ \text{when} ~~ (j \lt A[i]) \ dp[i][j] = dp[i-1][j] ~~ \text{or} ~~ dp[i-1][j-A[i]] ~~ \text{when} ~~ (j \geq A[i]) $$

其中， $A$ 表示给定集合。最终的答案即为 $dp[n][k]$，其中 $n$ 表示集合的大小， $k$ 表示目标数值。

代码实现

function subsetSum($set,$sum) {
    $n = count($set);
    $dp = array_fill(0,$n+1,array_fill(0,$sum+1,false));

    // 初始化
    for($i=0;$i<=$n;$i++)
        $dp[$i][0] = true;

    // 迭代计算
    for($i=1;$i<=$n;$i++) {
        for($j=1;$j<=$sum;$j++) {
            if($j < $set[$i-1])
                $dp[$i][$j] = $dp[$i-1][$j];
            else
                $dp[$i][$j] = $dp[$i-1][$j] || $dp[$i-1][$j-$set[$i-1]];
        }
    }

    // 返回结果
    return $dp[$n][$sum];
} 

使用方法

首先，需要定义一个包含数字的数组，并给出目标数字。接下来，调用 subsetSum($set,$sum) 方法，即可得出答案。

$set = array(3, 34, 4, 12, 5, 2);
$sum = 9;

if(subsetSum($set,$sum))
    echo "可以找到一些数字加起来等于 $sum。";
else
    echo "无法找到一些数字加起来等于 $sum。";

输出为：

可以找到一些数字加起来等于 9。

思考题

1. 如果要输出最佳的匹配方案（即查找到那些数字加和可以得到目标数字），应该如何修改以上代码？
2. 该程序的时间复杂度是多少？是否可以用其他方法进一步优化？

参考资料

1. Subset Sum Problem（维基百科）：https://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem
2. 表格法（维基百科）：https://en.wikipedia.org/wiki/Tabulation_method