重复连接后创建的数组中的最大子数组和 |第 2 组

介绍

本题是 LeetCode 上的一道难度为中等的数组类型问题。题目要求我们在一个数组中，找到一个被重复连接起来的子数组，使得这个子数组的和最大。需要注意的是，子数组和重复连接是循环的，也就是说，连接起来的数组是一个环。

这题可以使用循环不变量、动态规划、分治等多种算法解决。其中，动态规划是较为常用的解题方法。本文将采用动态规划法来解决这个问题，并结合具体的例子给出代码实现。

算法

我们可以先用 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的最大子数组和，这里 $i$ 的范围是 $[1,n]$，然后再用一个变量 $max_dp$ 记录最大的 $dp[i]$ 值，最终 $max_dp$ 就是重复连接后创建的数组中的最大子数组和。

为了方便计算，我们可以将原数组复制一份，并拼接到原数组的后面，这样就可以直接处理循环的情况了。

对于 $dp[i]$，有两种情况：

1. 第 $i$ 个元素单独成为一段，这种情况下的最大子数组和就是 $nums[i]$。
2. 第 $i$ 个元素要加入前面的某个子数组，这种情况下的最大子数组和就是 $dp[i-1]+nums[i]$。

综上所述，我们可以得到状态转移方程：

$$ dp[i] = \max(nums[i], dp[i-1]+nums[i]) $$

最终的答案就是：

$$ \max_{i=1}^{2n}(dp[i]) $$

例子

假设输入的数组为 $[1,-4,4,-2,4]$，则我们可以将它复制一份并拼接到后面得到 $[1,-4,4,-2,4,1,-4,4,-2,4]$。

下面是对应的动态规划过程：

dp[1] = 1
dp[2] = max(-4, dp[1]-4) = -3
dp[3] = max(4, dp[2]+4) = 4
dp[4] = max(-2, dp[3]-2) = 2
dp[5] = max(4, dp[4]+4) = 6
dp[6] = max(7, dp[5]+1) = 7
dp[7] = max(3, dp[6]-4) = 3
dp[8] = max(7, dp[7]+4) = 7
dp[9] = max(5, dp[8]-2) = 5
dp[10] = max(9, dp[9]+4) = 9

max_dp = max(dp[1], dp[2], dp[3], dp[4], dp[5], dp[6], dp[7], dp[8], dp[9], dp[10])

最终得到的最大子数组和为 $9$。

代码

下面是基于上面的算法，使用 Python 语言实现的代码：

class Solution:
    def maxSubarraySumCircular(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        nums += nums
        
        dp = [0] * (2*n)
        dp[0] = nums[0]
        max_dp = nums[0]
        
        for i in range(1, 2*n):
            dp[i] = max(nums[i], dp[i-1]+nums[i])
            max_dp = max(max_dp, dp[i])
        
        return max_dp

代码中的 maxSubarraySumCircular 函数接收一个整数列表 nums 作为输入，并返回重复连接后的数组中的最大子数组和。其中，dp 数组用来存储中间状态，变量 max_dp 用来记录最终的答案。