最小化所有可能子数组的最大和最小元素之间的差异

问题描述

给定一个长度为n的数组A，我们定义一个子数组为A中的一个连续的部分序列。请你找到一个划分方案，将数组A划分为尽可能多的非空子数组，要求每个子数组的最大元素和最小元素之差最小，输出该最小差值。

例如，对于数组A=[3,1,4,2]，其最小差值为1。其中一种划分方案为[3,1],[4],[2]，最大元素和最小元素之差都为1。

解决方案

思路

使用二分查找法进行求解。设置一个二分范围，在每次二分过程中判断是否存在划分方案，满足每个子数组中的最大元素和最小元素之差不大于当前二分的值，并将答案标记为当前二分值；如果当前二分值过大，无法满足要求，则将二分范围后半段缩小，继续进行二分；如果当前二分值过小，则将二分范围前半段缩小，继续进行二分。

代码片段

def check(x):
    cnt = 0
    mn = mx = a[0]
    for i in a:
        mn = min(mn, i)
        mx = max(mx, i)
        if mx - mn > x:
            cnt += 1
            mn = mx = i
    return cnt + 1 <= m
 
left = 1
right = 1e9
ans = 0
while left <= right:
    mid = int((left + right) / 2)
    if check(mid):
        ans = mid
        right = mid - 1
    else:
        left = mid + 1
 
print(int(ans))

分析

首先，我们需要确定二分范围，这个范围是[a[0], max(a)]。然后，我们需要比较mid和数组中的元素，来判断当前的二分值是否合法。如果合法，我们就将答案标记为mid，并将右端点left缩小，继续进行二分；如果不合法，我们将左端点right缩小，继续进行二分。

在每次check函数的调用中，我们遍历整个数组，并记录当前子数组的最大值mx和最小值mn，如果max-min大于当前的二分值，则需要将该子数组分割出来。分割后需要更新最大值mx和最小值mn。最后判断分割出的子数组的数量是否小于等于m个。

总结

本题通过二分查找法求解，时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。算法核心是check函数，其时间复杂度为O(n)。本题的思考难度较大，需要对二分查找、贪心算法有一定的理解。