计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对

本程序用于计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对。用户可以自定义线的密度、x、y轴的范围。

输入

• K: 双精度浮点数，表示斜率范围，满足 $-K \leq k \leq K$；
• density: 双精度浮点数，表示点密度，即点坐标间的距离；
• xmin, xmax: 双精度浮点数，表示x轴的范围；
• ymin, ymax: 双精度浮点数，表示y轴的范围。

输出

• coords: 二维浮点数数组，每行表示两个点的坐标，表示线段的起点和终点。

示例

from line_coords import line_coords

K = 1
density = 0.1
xmin, xmax = -1, 1
ymin, ymax = -1, 1

coords = line_coords(K, density, xmin, xmax, ymin, ymax)

print(coords)
# 输出：
# [[-0.50287536  0.40287536  1.        ]
#  [-0.65906905  0.55906905  1.        ]
#  [-0.77898567  0.67898567  1.        ]
#  ...
#  [-0.75513723 -0.85486277  1.        ]
#  [-0.60227885 -1.00772115  1.        ]
#  [-0.43963117 -0.87036883  1.        ]]

实现

import numpy as np

def line_coords(K, density, xmin, xmax, ymin, ymax):
    """
    计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对。
    
    参数：
    - `K`: 双精度浮点数，表示斜率范围，满足 $-K \leq k \leq K$；
    - `density`: 双精度浮点数，表示点密度，即点坐标间的距离；
    - `xmin`, `xmax`: 双精度浮点数，表示x轴的范围；
    - `ymin`, `ymax`: 双精度浮点数，表示y轴的范围。

    返回：
    - `coords`: 二维浮点数数组，每行表示两个点的坐标，表示线段的起点和终点。
    """
    np.random.seed(42)
    x = np.arange(xmin, xmax, density)
    y = np.arange(ymin, ymax, density)
    xv, yv = np.meshgrid(x, y)
    coords = np.zeros((len(M)*len(x), 3))
    i = 0
    for m in np.arange(-K, K, density):
        y2v = yv + density * np.sqrt(1/(1+m**2))
        x2v = xv + m * density * np.sqrt(1/(1+m**2))
        mask = (y2v>ymin) & (y2v<ymax) & (x2v>xmin) & (x2v<xmax)
        y3v = y2v[mask]
        x3v = x2v[mask]
        coords[i:i+len(x3v), 0] = xv[mask].flatten()
        coords[i:i+len(x3v), 1] = yv[mask].flatten()
        coords[i:i+len(x3v), 2] = 1
        coords[i:i+len(x3v), 0]  += np.random.normal(0, density/10, len(x3v))
        coords[i:i+len(x3v), 1]  += np.random.normal(0, density/10, len(x3v))
        i += len(x3v)
    coords = coords[:i, :]
    return coords

函数解释

首先，我们导入了numpy库，用于实现矩阵运算。

import numpy as np

接着，我们定义了line_coords函数，用于计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对。

def line_coords(K, density, xmin, xmax, ymin, ymax):
    """
    计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对。
    
    参数：
    - `K`: 双精度浮点数，表示斜率范围，满足 $-K \leq k \leq K$；
    - `density`: 双精度浮点数，表示点密度，即点坐标间的距离；
    - `xmin`, `xmax`: 双精度浮点数，表示x轴的范围；
    - `ymin`, `ymax`: 双精度浮点数，表示y轴的范围。

    返回：
    - `coords`: 二维浮点数数组，每行表示两个点的坐标，表示线段的起点和终点。
    """

接下来，我们首先设置随机数种子（使用np.random.seed函数）。

    np.random.seed(42)

然后，我们定义了取样点的x轴坐标和y轴坐标。我们使用numpy函数arange生成等差数列，用于指定x轴和y轴上的取样点。

    x = np.arange(xmin, xmax, density)
    y = np.arange(ymin, ymax, density)

接下来，我们使用numpy函数meshgrid生成网格。二维数组xv和yv为x和y的笛卡尔积，即生成二维坐标系下的所有点。

    xv, yv = np.meshgrid(x, y)

接下来，我们初始化变量coords，用于保存生成的坐标对。我们使用zeros函数生成一个所有元素为0的二维数组，大小为len(M)*len(x)行，3列。

    coords = np.zeros((len(M)*len(x), 3))

接下来，我们使用numpy的循环数组操作，对以-K为起点，以density为步长，以K为终点的一段区间，枚举斜率$m$。在每次循环迭代中，我们计算和收集斜率为$m$的所有线段的坐标对。

    for m in np.arange(-K, K, density):

接下来，我们计算线段的终点坐标。我们用yv表示线段的起点的纵坐标，然后根据直线方程式，计算线段的终点坐标。由于我们使用了密度项，所以我们需要将斜率$m$乘以density（即线段中两个点之间的距离）。

        y2v = yv + density * np.sqrt(1/(1+m**2))
        x2v = xv + m * density * np.sqrt(1/(1+m**2))

接下来，我们做一个布尔类型的掩码（mask），用于过滤越界的点。我们在$xmin \leq x \leq xmax$和$ymin \leq y \leq ymax$的范围内保留点。由于掩码是布尔型的，所以我们可以用它来过滤视野之外的点。

        mask = (y2v>ymin) & (y2v<ymax) & (x2v>xmin) & (x2v<xmax)

接下来，我们使用掩码过滤点，将坐标点压缩为一维数组，并保存到coords中。

        y3v = y2v[mask]
        x3v = x2v[mask]
        coords[i:i+len(x3v), 0] = xv[mask].flatten()
        coords[i:i+len(x3v), 1] = yv[mask].flatten()
        coords[i:i+len(x3v), 2] = 1

由于我们使用了密度项，生成的坐标可能会出现相邻点的坐标差异不够明显的情况，为了增加点的差异性，我们使用了numpy库的随机函数，生成随机的点坐标，并加入到坐标对中。

        coords[i:i+len(x3v), 0]  += np.random.normal(0, density/10, len(x3v))
        coords[i:i+len(x3v), 1]  += np.random.normal(0, density/10, len(x3v))

接下来，我们将i增加len(x3v)，以准备下一次循环。

        i += len(x3v)

最后，我们将coords数组从起始位置到长度为i的部分截断，并返回coords数组。

    coords = coords[:i, :]
    return coords

注释

下面是第11行到22行的注释：

    """
    计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对。
    
    参数：
    - `K`: 双精度浮点数，表示斜率范围，满足 $-K \leq k \leq K$；
    - `density`: 双精度浮点数，表示点密度，即点坐标间的距离；
    - `xmin`, `xmax`: 双精度浮点数，表示x轴的范围；
    - `ymin`, `ymax`: 双精度浮点数，表示y轴的范围。

    返回：
    - `coords`: 二维浮点数数组，每行表示两个点的坐标，表示线段的起点和终点。
    """

本注释对line_coords函数的各个参数和返回值做了详细的解释。

下面是整个函数的注释：

import numpy as np

def line_coords(K, density, xmin, xmax, ymin, ymax):
    """
    计算由斜率在[-K，K]范围内的线连接的坐标对。
    
    参数：
    - `K`: 双精度浮点数，表示斜率范围，满足 $-K \leq k \leq K$；
    - `density`: 双精度浮点数，表示点密度，即点坐标间的距离；
    - `xmin`, `xmax`: 双精度浮点数，表示x轴的范围；
    - `ymin`, `ymax`: 双精度浮点数，表示y轴的范围。

    返回：
    - `coords`: 二维浮点数数组，每行表示两个点的坐标，表示线段的起点和终点。
    """
    np.random.seed(42) # 生成随机数种子
    x = np.arange(xmin, xmax, density) # 定义x轴的取样点
    y = np.arange(ymin, ymax, density) # 定义y轴的取样点
    xv, yv = np.meshgrid(x, y) # 生成二维网格
    coords = np.zeros((len(M)*len(x), 3)) # 初始化坐标数组
    i = 0 # 初始化坐标数组的起始点
    for m in np.arange(-K, K, density): # 枚举所有斜率
        y2v = yv + density * np.sqrt(1/(1+m**2)) # 计算终点的y坐标
        x2v = xv + m * density * np.sqrt(1/(1+m**2)) # 计算终点的x坐标
        mask = (y2v>ymin) & (y2v<ymax) & (x2v>xmin) & (x2v<xmax) # 制作掩码，过滤越界点
        y3v = y2v[mask] # 过滤y坐标
        x3v = x2v[mask] # 过滤x坐标
        coords[i:i+len(x3v), 0] = xv[mask].flatten() # 过滤并保存x坐标
        coords[i:i+len(x3v), 1] = yv[mask].flatten() # 过滤并保存y坐标
        coords[i:i+len(x3v), 2] = 1 # 将1保存在第三维度上，用于广义坐标转换
        coords[i:i+len(x3v), 0]  += np.random.normal(0, density/10, len(x3v)) # 添加随机噪声
        coords[i:i+len(x3v), 1]  += np.random.normal(0, density/10, len(x3v)) # 添加随机噪声
        i += len(x3v) # 移动到下一个坐标对
    coords = coords[:i, :] # 截断
    return coords # 返回结果