从前N个字母开始计算按字典顺序递增的K长度字符串

假设现在有一个字母表，包含 $N$ 个字母，我们需要根据这 $N$ 个字母生成所有长度为 $K$ 的字符串，并按字典序大小递增排序。

如何生成这些字符串呢？

排列组合

首先想到的是排列组合的方法，对于每个位置，都可以选择 $N$ 个字母，那么总共有 $N^K$ 种可能的字符串组合。然后我们可以用quick sort这样的排序算法完成排序。

以下是 Python 代码片段:

from itertools import product

N, K = 4, 3  # 假设有 4 个字母，需要生成长度为 3 的字符串

strings = list(product(range(N), repeat=K))   # 生成所有可能的字符串
strings.sort()  # 按字典序排序

但是这种方法的时间复杂度是 $O(N^K K \log N^K)$，所以只能处理小规模的情况。

递归

如果想要处理更大规模的问题，就需要采用递归的方法。

假设我们已经按字典序生成好了所有长度为 $K-1$ 的字符串，那么如何生成所有长度为 $K$ 的字符串呢？我们可以在每个长度为 $K-1$ 的字符串后面加上 $N$ 个字母，然后再对所有长度为 $K$ 的字符串排序。

但是这个方法有个问题：如何快速从长度为 $K-1$ 的字符串推出长度为 $K$ 的字符串组合呢？这个问题的解决方法是，对于每个长度为 $K-1$ 的字符串，我们可以把它分成两部分，前面 $K-2$ 个字符作为前缀，后面一个字符作为尾缀，然后对于每个长度为 $K-1$ 的字符串，我们可以在前缀的字母表中查找尾缀的右边第一个字母，如果找到了，就将前缀和尾缀拼接起来作为一个长度为 $K$ 的字符串。

以下是 Python 代码片段:

N, K = 4, 3

# 生成所有长度为 K - 1 的字符串
prev_strings = [['']]  # 长度为 0 的字符串只有一个，即空字符串
for i in range(K-1):
    new_strings = []
    for s in prev_strings[-1]:  # 对于长度为 i 的字符串 s
        prefix = s[:-1]
        for j in range(int(s[-1])+1, N):  # 在前缀的字母表中找尾缀的后继字母
            new_strings.append(prefix + str(j))
    new_strings.sort()  # 按字典序排序
    prev_strings.append(new_strings)

# 计算所有长度为 K 的字符串
strings = []
for s in prev_strings[-1]:
    for j in range(N):  # 将字母表中所有的字母加到字符串的尾部
        strings.append(s + str(j))
strings.sort()  # 按字典序排序

这种方法的时间复杂度是 $O(N^K \log N)$，可以处理 $N$ 较小，$K$ 较大的情况。

总结

以上介绍了两种生成按字典序递增的字符串组合的方法。排列组合方法简单但是只能处理小规模的问题，递归方法复杂一些但是可以处理更大规模的问题。具体采用哪种方法，可以根据问题规模和所能使用的计算资源进行选择。