计算从前 N 个自然数中满足特定条件的三元组数量

问题描述

考虑从前N个自然数中计算三元组(a, b, c)的数量，使得a * b + c = N。例如，当N = 6时，(1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (2, 1, 4), (2, 2, 3), (3, 1, 3)是满足条件的一些三元组。

解题思路

我们可以使用双重循环遍历1到N之间的正整数，分别赋值给a和b，再求出c的值是否等于N-ab。如果等于N-ab，则满足条件，对符合条件的三元组数量进行累加。

考虑到c是唯一的，我们可以使用一重循环枚举c的值，再用数学公式计算出对应的b的取值，判断b是否为正整数，如果是，则计数器增加，否则不做处理。

代码实现

以下是使用Python编写的程序片段，用于计算从前N个自然数中满足特定条件的三元组数量：

def count_triplets(N):
    count = 0   # 计数器
    for a in range(1, N+1):
        for b in range(1, N+1):
            c = N - a*b
            if c > 0 and c <= N:
                if c == round(c) and b <= c/a: # 判断b是否为正整数
                    count += 1
    return count

示例

下面给出几个示例：

• count_triplets(6)的返回值为6，对应的三元组为(1, 1, 5)，(1, 2, 4)，(1, 3, 3)，(2, 1, 4)，(2, 2, 3)，(3, 1, 3)。

性能分析

该程序的时间复杂度为O(N^2)，因为需要双重循环遍历1到N之间的正整数。在N较大时，程序的运行时间会明显增加。但是该程序的空间复杂度较为简单，只需要存储一个计数器，空间复杂度为O(1)。如果需要提高程序的效率，可以尝试优化循环结构。