找到未排序数组中第K个最小/最大元素

问题描述

给定一个未排序的数组，需要找到其中第K个最小或最大的元素。例如，给定数组 [3, 7, 2, 1, 8, 6, 5, 4]，需要找到其中第3个最小的元素，值为 3。

解决方案

方法一：排序

最简单的解决方案是先对数组进行排序，然后直接找到第K个元素。这个算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 为数组的长度。

方法二：快速选择

我们可以使用快速排序中的 partition() 方法来找到数组中第K个最小（或最大）的元素。该方法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为数组的长度。假设我们要找到第K个最小的元素。

1. 使用 partition() 方法来将数组划分成小于等于 K 的一部分以及大于 K 的一部分。
2. 如果第K个元素在小于等于 K 的一部分中，那么我们继续对小于等于 K 的一部分进行 partition() 操作。
3. 如果第K个元素在大于 K 的一部分中，那么我们继续对大于 K 的一部分进行 partition() 操作。
4. 重复步骤 1 到 3，直到找到第K个最小的元素为止。

因为每次将数组划分为两部分，所以算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为数组的长度。

代码示例

def partition(nums, left, right):
    pivot = nums[right]
    i = left - 1
    
    for j in range(left, right):
        if nums[j] < pivot:
            i += 1
            nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    
    nums[i+1], nums[right] = nums[right], nums[i+1]
    
    return i+1

def kthSmallest(nums, k):
    left, right = 0, len(nums)-1
    
    while True:
        pivot_index = partition(nums, left, right)
        
        if pivot_index == k-1:
            return nums[pivot_index]
        elif pivot_index < k-1:
            left = pivot_index + 1
        else:
            right = pivot_index - 1

方法三：堆

我们可以使用一个大小为K的最大堆来解决这个问题。我们遍历一遍数组，将每个元素加入堆中，如果堆的大小超过K，则移除堆顶元素。遍历结束后堆顶元素即为第K个最小的元素。该方法的时间复杂度为 $O(n \log k)$，其中 $n$ 为数组的长度。

同理，如果要找到第K个最大的元素，我们可以使用一个大小为K的最小堆。

代码示例

import heapq

def kthSmallest(nums, k):
    heap = []
    
    for num in nums:
        heapq.heappush(heap, -num)
        if len(heap) > k:
            heapq.heappop(heap)
    
    return -heap[0]

总结

我们介绍了三种方法来找到未排序数组中的第K个最小或最大元素：排序、快速选择和堆。其中，快速选择和堆的时间复杂度都为 $O(n)$ 或 $O(n\log k)$，要比排序的时间复杂度 $O(n \log n)$ 更优秀。在实际问题中，我们可以根据具体情况来选择哪种方法。