点与圆之间的最短距离

算法：几何

点到圆心的距离

最简单的情况是求点到圆心的距离。设圆的圆心坐标为 $(x_0, y_0)$，点的坐标为 $(x,y)$，距离为 $d$，则有：

$$ d = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} $$

点与圆的位置关系

点与圆的位置关系分为以下几种情况：

1. 点在圆内：距离小于圆的半径 $r$。
2. 点在圆上：距离等于圆的半径 $r$。
3. 点在圆外：距离大于圆的半径 $r$。

点到圆的最短距离

点到圆的最短距离有以下两种情况：

1. 点在圆上或圆内时，最短距离为 $0$。
2. 点在圆外时，最短距离为点到圆的切点的距离。

点到圆的切点

点到圆的切点有两个，设切点坐标为 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，圆的半径为 $r$，圆心坐标为 $(x_0,y_0)$，点的坐标为 $(x,y)$。计算公式如下：

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \ x_1 &= x_0 + r * \frac{x-x_0}{d} \ y_1 &= y_0 + r * \frac{y-y_0}{d} \ x_2 &= x_0 - r * \frac{x-x_0}{d} \ y_2 &= y_0 - r * \frac{y-y_0}{d} \end{aligned} $$

其中，$\frac{x-x_0}{d}$ 和 $\frac{y-y_0}{d}$ 分别表示以圆心为原点，过点和圆心的直线的方向向量的横纵坐标。

代码实现

参考代码如下：

import math

def distance(x, y, x0, y0):
    """
    计算点到圆心的距离
    """
    return math.sqrt((x-x0)**2 + (y-y0)**2)

def get_tangent_points(x, y, x0, y0, r):
    """
    计算点到圆的切点
    """
    d = distance(x, y, x0, y0)
    if d <= r:  # 点在圆内或圆上
        return []
    x1 = x0 + r * (x-x0) / d
    y1 = y0 + r * (y-y0) / d
    x2 = x0 - r * (x-x0) / d
    y2 = y0 - r * (y-y0) / d
    return [(x1,y1), (x2,y2)]

# 示例代码
if __name__ == '__main__':
    x, y = 0, 0  # 点坐标
    x0, y0 = 2, 2  # 圆心坐标
    r = 1  # 圆半径
    print(distance(x, y, x0, y0))  # 输出点到圆心的距离
    print(get_tangent_points(x, y, x0, y0, r))  # 输出点到圆的切点

以上代码使用 Python 语言实现了点与圆之间的最短距离计算，并提供注释以方便理解。