大小为K的子集，乘积等于两个完美平方的差

在数学中，完美平方指：一个数可以表示为另外两个数的平方数之差，例如 5=3^2-2^2。

本题目要求给定一个整数数组 nums 和一个正整数 k，寻找大小为 k 的非空子集（即子集中元素个数为 k），满足该子集的乘积等于两个完美平方的差。

问题分析

首先，可以发现只有满足以下条件的数才可能被表示成两个完美平方的差：

1. 该数为奇数；
2. 该数是质数；
3. 该数的因数中，除了 1 之外，所有偶因数都至少出现 2 次；

基于此分析，我们可以直接枚举所有符合条件的质数，然后根据乘积的性质，枚举完美平方的差，最后在原数组中搜索大小为 k 的子集即可。

代码实现

def generate_primes(max_num):
    """生成小于等于 max_num 的所有质数"""

    is_prime = [True] * (max_num + 1)
    primes = []

    for i in range(2, max_num + 1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i * i, max_num + 1, i):
                is_prime[j] = False

    return primes

def get_divisors(num):
    """获取 num 的所有因数"""

    divisors = set([1])
    for i in range(2, int(num**0.5)+1):
        if num % i == 0:
            divisors.add(i)
            divisors.add(num // i)

    return divisors

def is_valid(num):
    """判断 num 是否符合条件"""

    if num % 2 == 0:
        return False

    if len(get_divisors(num)) > 2:
        return False

    prime_factors = get_divisors(num-1)
    if len(prime_factors) != len(set(prime_factors)):
        return False

    even_factors = set(filter(lambda x: x % 2 == 0 and x != 2, get_divisors(num)))
    for factor in even_factors:
        if len(get_divisors(num // (factor**2))) == 2:
            return True

    return False

def find_subarray(nums, k):
    """寻找大小为 k 的子集"""

    primes = list(filter(is_valid, generate_primes(max(nums))))
    for prime in primes:
        for diff in range(1, prime):
            candidate = prime + diff**2
            if candidate not in nums:
                continue

            subarray = set([candidate])
            for num in nums:
                if len(subarray) == k:
                    return sorted(list(subarray))
                if num != candidate and num % prime == diff**2:
                    subarray.add(num)

    return []

# Example Usage
nums = [2, 3, 5, 7, 10, 13, 17, 18, 20]
k = 3
subarray = find_subarray(nums, k)
if subarray:
    print(f"Found subset: {subarray}")
else:
    print("No subset found.")

其中：

• generate_primes(max_num) 生成小于等于 max_num 的所有质数；
• get_divisors(num) 获取 num 的所有因数；
• is_valid(num) 判断 num 是否符合条件；
• find_subarray(nums, k) 寻找大小为 k 的子集。

结语

本题目需要较高的数学素养，且实现起来较为困难，需要注意数学细节和边界条件。