最小两党团体

简介

在图论中，最小两党团体是一个基本概念，它指的是在一个无向图中，将顶点集合分成两部分，使得其中一部分中的任意两个顶点都有连接，而另一部分中的任意两个顶点都没有连接，同时使得被划分出来的两个部分所包含的顶点数最小。这个问题在人际关系、社交网络等领域有着广泛的应用。

在计算机科学中，解决最小两党团体的问题可以采用所谓的二分图匹配算法，用于解决配对问题。例如，在招聘网站上，将求职者与雇主进行匹配。

算法

二分图匹配算法主要包括以下几种：

匈牙利算法

匈牙利算法是解决最小两党团体问题最常用和最著名的算法之一。它通过不断增加匹配来解决问题，直到无法匹配时算法结束。

匈牙利算法的时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 为连接数，$n$ 为节点数。

网络流算法

网络流算法可以通过从两党团体网络构造一张流网络图，再通过最大流来计算最多的匹配数量。此时，最小两党团体的节点就变成了流网络图中的源点和汇点。

KM算法

KM算法是一种将对偶图问题利用线性规划来求解的算法。它不需要增广路径，而是通过在对称矩阵上进行二分图匹配来求解最大权匹配问题，进而求解最小权匹配问题。

KM算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，但是对于稠密图和相对单位权值的问题而言，它是最快的算法。

代码示例

以下是使用 Python 语言实现匈牙利算法的代码示例：

def dfs(u):
    for v in range(len(matrix[0])):
        if matrix[u][v] and not visited[v]:
            visited[v] = True
            if matches[v] == -1 or dfs(matches[v]):
                matches[v] = u
                return True
    return False

def bipartite_matching():
    global matches, visited
    matches = [-1] * len(matrix[0])
    count = 0
    for u in range(len(matrix)):
        visited = [False] * len(matrix[0])
        if dfs(u):
            count += 1
    return count

# Example usage
matrix = [
    [0, 1, 1, 0],
    [1, 0, 0, 1],
    [0, 1, 0, 1],
    [0, 0, 1, 0]
]

print(bipartite_matching())

# Output: 3

在上述代码示例中，我们使用邻接矩阵来表示两党团体网络，其中 $1$ 表示两个节点间有连接。

最后的输出结果为 $3$，表示最小两党团体所包含的节点数为 $3$。