组成字符串回文的最小删除数

介绍

本文将介绍字符串中组成回文的最小删除数的算法实现。给定一个字符串，其中只包含小写字母，可以删除其中任意数量的字符，使其变成回文字符串。求最小的删除次数。

解法一：动态规划

首先，我们可以尝试用动态规划的方法解决这个问题。定义 $dp(i,j)$ 表示将字符串 $s[i,j]$ 变成回文字符串所需要的最少删除次数。则对于任意的 $i,j$，其状态转移方程如下：

• 当 $s[i] = s[j]$ 时，$dp(i,j) = dp(i+1,j-1)$
• 当 $s[i] \neq s[j]$ 时，$dp(i,j) = \min(dp(i+1,j),dp(i,j-1))+1$

上述状态转移方程的含义是：当字符串 $s[i,j]$ 的两端字符相等时，只需要将 $i$ 和 $j$ 向中心移动一位即可，即 $dp(i,j) = dp(i+1,j-1)$。当字符串 $s[i,j]$ 的两端字符不同时，需要删除其左端或右端的其中一个，选择删除次数最小的那个，即 $dp(i,j) = \min(dp(i+1,j),dp(i,j-1))+1$。

对于上述状态转移方程的初始值，当 $i=j$ 时，字符串只有一个字符，不需要删除，$dp(i,j)=0$。当 $i<j$ 时，字符串长度为 $2$ 以上，需要进行状态转移。

最终，所求的最小删除次数即为 $dp(0,n-1)$，其中 $n$ 为字符串长度。

下面是动态规划法的 Python3 代码：

def min_remove_palindrome(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 0
    for k in range(1, n):
        for i in range(n-k):
            j = i + k
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1
    return dp[0][n-1]

解法二：贪心算法

另一种解决该问题的方法是使用贪心算法。具体算法如下：

• 设置 $i=0,j=n-1$，分别指向字符串的最左端和最右端。
• 如果 $s[i]=s[j]$，则将 $i,j$ 向中心移动一位。
• 如果 $s[i]\neq s[j]$，则需要删除其左端或右端的其中一个。选择删除次数最小的那个，即 $s[i+1,j]$ 和 $s[i,j-1]$ 中删除次数最少的那个进行删除，并将 $i,j$ 分别向中心移动一位。
• 重复执行上述操作直至 $i\geq j$。
• 最终，所求的最小删除次数即为移动次数（字符串的长度减去回文子串的长度）。

下面是贪心算法的 Python3 代码：

def min_remove_palindrome(s: str) -> int:
    n = len(s)
    i, j = 0, n - 1
    count = 0
    while i < j:
        if s[i] == s[j]:
            i += 1
            j -= 1
        else:
            if s[i+1] == s[j]:
                i += 1
            else:
                j -= 1
            count += 1
    return count

总结

本文介绍了两种求字符串中组成回文的最小删除数的解法：动态规划和贪心算法。两种方法都可以得到正确的结果，但是在时间上有所不同。动态规划法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$；贪心算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。如果字符串长度很大且空间有限，应该选择贪心算法；否则，应该选择动态规划法。