使用欧几里得算法求解gcd(a^n, c)

算法介绍

欧几里得算法，也被称为辗转相除法，是求解两个正整数的最大公约数的常用算法。该算法的基本思想是先用大的数除以小的数，余数为R，再用小的数除以R，余数为R1，以此类推，直到余数为0为止，此时上一次的余数即最大公约数。

针对计算gcd(a^n, c)，我们可以借助欧几里得算法进行求解。具体而言，在算法过程中，我们需要将a不断自乘n次，然后再对c进行辗转相除，最终返回的余数即为求解结果。

算法实现

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

def gcd_pow(a, n, c):
    # 先计算出a^n
    tmp = 1
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            tmp = (tmp * a) % c
        a = (a * a) % c
        n = n // 2
    # 再计算gcd(a^n, c)
    return gcd(tmp - 1, c)

运行示例

# 计算gcd(2^20, 3)
result = gcd_pow(2, 20, 3)
print(result)  # 输出1

时间复杂度

对于gcd_pow函数，其时间复杂度为$O(log_2n)$，其中n为指数值。具体而言，在计算a的n次方时，我们采用了一个快速幂的算法，使得时间复杂度得以优化。此外，在求解gcd时，欧几里得算法的时间复杂度为$O(log_2c)$，因此总时间复杂度即为$O(log_2n) + O(log_2c)$。