通过单个数字替换将 N 位素数转换为另一个素数的最小步骤

简介

本文介绍了一种算法，通过单个数字替换将 N 位素数转换为另一个素数的最小步骤。该算法基于质数检验和搜索算法，可以有效地解决这个问题。

算法流程

1. 生成所有 N 位的素数作为搜索空间。
2. 对于每个 N 位素数，分别将其所有数字替换为0~9中的一个数字，并检验是否为素数。将满足条件的数字加入一个数组中。
3. 对数组中的数字进行搜索，直到找到目标素数为止。
4. 返回搜索所需的最小步骤数。

代码实现

from sympy import isprime

def generate_primes(n: int) -> list:
  """生成 N 位素数，用列表返回"""
  primes = []
  for i in range(10 ** (n-1), 10 ** n):
    if isprime(i):
      primes.append(str(i))
  return primes

def replace_digit(n: str) -> list:
  """将数字 n 的 N 位中的数字分别替换为 0~9 中的一个数字"""
  digits = list(n)
  result = []
  for i in range(len(digits)):
    for j in range(10):
      new_digits = digits.copy()
      new_digits[i] = str(j)
      num = int(''.join(new_digits))
      if isprime(num):
        result.append(str(num))
  return result

def search_for_prime(start: str, end: str) -> int:
  """从 start 搜索到 end，返回搜索所需的最小步骤数"""
  if start == end:
    return 0
  
  visited = {start: True}
  q = [(start, 1)]
  
  while q:
    num, steps = q.pop(0)
    for n in replace_digit(num):
      if n == end:
        return steps
      if n not in visited:
        visited[n] = True
        q.append((n, steps+1))
  
  return -1  # 无法找到目标素数

# 示例
start = "113"
end = "199"
primes = generate_primes(len(start))
print(search_for_prime(start, end))  # 打印最小步骤数

性能分析

该算法的时间复杂度是 $O(10^NN^2)$，其中 $N$ 是素数的位数。空间复杂度是 $O(10^NN^2)$，由于需要存储所有的 N 位素数和搜索过程中的状态。虽然性能不是很理想，但是对于 $N$ 不是很大的情况下还是可以接受的。