三角金字塔中N步以循环路径行进的方式计数

三角金字塔是一种非常有趣的数学结构，前一层有一定数量的点，每两个点之间都连接了一条线段，从而形成了一个三角形。在这个三角形中，如果我们从顶部点开始，以一定的步数沿着连接线段行进的方式往下走，可以非常有规律的覆盖所有点。本文探讨的主题是，在三角金字塔中，当以循环路径行进时，从顶部点出发走N步，能够到达下方的哪些点？这个问题可以用编程来解决。

算法思路

要解决这个问题，我们首先需要明确三角金字塔的结构。下图是一个由6层组成的三角金字塔：

     o
    o o
   o o o
  o o o o
 o o o o o
o o o o o o

我们可以把这个金字塔转化为一个二维数组，用1表示存在一个点，用0表示没有点，这个数组就是：

[
    [1],
    [1, 1],
    [1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1, 1]
]

然后，我们从顶部点开始，以循环路径行进的方式，沿着连接线段进行N步，可以到哪些点呢？我们可以用一个递归函数来解决这个问题。函数的参数包括：当前所在的行数，当前所在的列数，已经走过的步数，最大步数，以及当前已经到达的点的集合。函数每次向下/向左下/向右下走一步，逐步扩展到最大步数。

代码实现

下面是一个Python的实现示例：

def count_path(row, col, steps, max_steps, visited):
    '''
    在三角金字塔中，从(row, col)出发走steps步，
    最大可以走max_steps步，已经走过的点存储在visited中
    返回一个集合，表示从(row, col)开始能到达的所有点
    '''
    # 如果已经走完了max_steps步，则返回当前已经到达的所有点
    if steps == max_steps:
        return visited

    # 向下走一步
    next_row, next_col = row + 1, col
    if next_row < len(triangle) and triangle[next_row][next_col] == 1:
        next_visited = visited | {(next_row, next_col)}
        visited = count_path(next_row, next_col, steps+1, max_steps, next_visited)

    # 向左下走一步
    next_row, next_col = row + 1, col - 1
    if next_row < len(triangle) and next_col >= 0 and triangle[next_row][next_col] == 1:
        next_visited = visited | {(next_row, next_col)}
        visited = count_path(next_row, next_col, steps+1, max_steps, next_visited)

    # 向右下走一步
    next_row, next_col = row + 1, col + 1
    if next_row < len(triangle) and next_col < len(triangle[next_row]) and triangle[next_row][next_col] == 1:
        next_visited = visited | {(next_row, next_col)}
        visited = count_path(next_row, next_col, steps+1, max_steps, next_visited)

    return visited

# 初始化三角金字塔
triangle = [
    [1],
    [1, 1],
    [1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1, 1, 1]
]

# 在顶部点出发，走3步，能到达的所有点
start_row, start_col = 0, 0
steps = 3
visited = {(start_row, start_col)}
result = count_path(start_row, start_col, 0, steps, visited)
print(result)  # {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2)}

总结

到此，我们已经实现了在三角金字塔中，以循环路径行进的方式，从顶部点开始走N步，能够到达下方的哪些点的问题。使用递归函数的方式可以将问题简化，并且使得代码易于理解和扩展。编程中，我们可以利用类似的思路来解决其他类似的问题。