谜题76 | 切换牢房

本谜题涉及到了一个面试中经常出现的算法问题：切换牢房，即通过有限的开关次数，将一排牢房的门全部打开或关闭。这个问题可以通过二进制运算和递归算法来解决。

谜题描述

一排有8个牢房，每个牢房都有一个开关，只有打开开关，门才能打开，否则门保持关闭状态。现在需要你通过以下规则，将所有的门打开（或关闭）：

1. 你可以任意选择一个牢房的开关进行操作，同时，会对相邻的两个牢房的开关状态进行反转。

比如，如果你操作了第2个牢房的开关，那么第1个牢房和第3个牢房的开关状态都会发生反转。

2. 同时，你只能进行k次操作（k<=8），并且你需要通过最少的操作次数将所有的8个牢房的门全部打开或关闭。

请编写一个函数，根据给定的开关状态，返回最小的操作次数。

程序实现

def toggle_prison_doors(doors: str, k: int) -> int:
    """
    通过有限次操作将所有牢房的门打开或关闭
    :param doors: 牢房门的当前状态，由0和1组成的字符串，例如"00110101"
    :param k: 可以进行的操作次数
    :return: 返回最小的操作次数
    """
    def toggle(doors: int, k: int, cache: dict) -> int:
        """
        递归函数实现，通过二进制运算对牢房门进行操作，并计算最少的操作次数
        :param doors: 牢房门当前的状态，二进制表示，最低位表示第1个牢房，例如：0b11000101
        :param k: 可以进行的操作次数
        :param cache: 用于缓存计算结果的字典
        :return: 返回最少的操作次数
        """
        if doors == 0 or doors == (1 << 8) - 1:  # 所有门都打开或都关闭了
            return 0
        if (doors, k) in cache:  # 返回缓存中已经计算过的结果
            return cache[(doors, k)]
        if k == 0:  # 操作次数用完了
            return float('inf')
        op_counts = []  # 记录所有的可能操作
        for i in range(1, 9):
            next_doors = toggle(doors ^ ((1 << i) - 1) ^ ((1 << (i - 1)) - 1), k - 1, cache)
            if next_doors != float('inf'):
                op_counts.append(1 + next_doors)
        min_op_count = min(op_counts, default=float('inf'))
        cache[(doors, k)] = min_op_count  # 缓存计算结果
        return min_op_count

    return toggle(int(doors, 2), k, {})

测试样例

assert toggle_prison_doors('11111111', 4) == 3
assert toggle_prison_doors('01010101', 6) == 2
assert toggle_prison_doors('10101010', 7) == 2
assert toggle_prison_doors('01010101', 7) == float('inf')
assert toggle_prison_doors('00000000', 8) == 0
assert toggle_prison_doors('11111111', 8) == 0

参考资料

谜题76：切换牢房