谜题72 | 疾病和测试

情景描述

假设在某个国家中，有1%的人口患有某种罕见疾病。现在有一种测试方法，可以判断一个人是否患有这种疾病。该测试方法有10%的误判率（也就是10%的健康人会被诊断出患有该病），同时有90%的患病率（也就是患有该病的人会在测试中被诊断出患有该病）。现在有一个人做了这个测试，结果为阳性，那么他真正患有该病的概率是多少？

策略分析

首先，我们需要了解两个概念：灵敏度和特异度。

灵敏度，也称为真阳率，指的是所有真正患病的人中，有多少能够在测试中被诊断为阳性。在本题中，灵敏度为90%。

特异度，也称为真阴率，指的是所有真正健康的人中，有多少能够在测试中被诊断为阴性。在本题中，特异度为90%。

那么，在这种情况下，我们需要用到贝叶斯公式来计算患病的概率，即：

$$ P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} $$

其中，$P(A)$表示患病的先验概率，即在没有测试结果的情况下，一个随机选出的人患病的概率。在本题中，$P(A) = 0.01$。

$P(B|A)$表示在患病的条件下，测试结果为阳性的概率。在本题中，灵敏度为90%，因此$P(B|A) = 0.9$。

$P(B|\bar{A})$表示在健康的条件下，测试结果为阳性的概率。在本题中，特异度为90%，因此$P(B|\bar{A})=0.1$。

$P(B)$表示测试结果为阳性的概率。由于我们已知阳性结果，因此可以使用全概率公式进行计算：

$$ \begin{aligned} P(B) &= P(B|A) \times P(A) + P(B|\bar{A}) \times P(\bar{A}) \ &= 0.9 \times 0.01 + 0.1 \times 0.99 \ &= 0.108 \end{aligned} $$

因此，代入公式得到：

$$ P(A|B) = \frac{0.9 \times 0.01}{0.108} \approx 0.083 $$

也就是说，即使测试结果为阳性，该人患有该疾病的概率也只有8.3%。

代码实现

def bayes(p_a, p_b_given_a, p_b_given_not_a):
    p_not_a = 1 - p_a
    p_b = p_b_given_a * p_a + p_b_given_not_a * p_not_a
    p_a_given_b = (p_b_given_a * p_a)/p_b
    return p_a_given_b

p_a = 0.01
p_b_given_a = 0.9
p_b_given_not_a = 0.1

result = bayes(p_a, p_b_given_a, p_b_given_not_a)
print(f"患有该疾病的概率为：{result:.2%}")

代码输出：

患有该疾病的概率为：8.33%

总结

在进行概率计算时，需要考虑灵敏度和特异度等因素，并使用贝叶斯公式进行计算。即使测试结果为阳性，也不一定代表该人患有该疾病的概率很大，需要综合考虑各种因素。