使用 DFS 的 N 叉树中所有节点的第 K 个祖先

N 叉树是指每个节点可以有多个子节点的树结构，它与普通的二叉树相比更加灵活。在 N 叉树中，我们可能需要查找某个节点的第 K 个祖先。

一个节点的第 K 个祖先是指从该节点往上数第 K 个节点。例如，假设有一个 N 叉树如下所示：

             1
      /     / \     \
     2     3   4     5
          / \ / \   /|\
         6  7 8  9 10 11 12

如果我们要求节点 9 的第 3 个祖先，那么它的答案为 2，因为从节点 9 开始，往上数第 3 个节点是节点 2。

接下来我们将会讲解使用 DFS 来计算 N 叉树中所有节点的第 K 个祖先的方法。

算法思路

对于 N 叉树中的每个节点，我们可以使用 DFS（深度优先搜索）来遍历整棵树，并把每个节点的所有祖先节点保存在一个数组中。

我们可以将 N 叉树看做是一个根节点和许多子树的集合，对于每个节点，我们都可以将它的父节点添加到一个数组中，这个数组就是这个节点的祖先数组。然后我们利用这个数组，可以很容易地找到每个节点的第 K 个祖先。

具体的算法实现可以分为两部分：第一步是使用 DFS 计算每个节点的祖先数组，第二步是根据祖先数组计算每个节点的第 K 个祖先。

下面我们将分别介绍这两个步骤的具体实现。

DFS 计算每个节点的祖先数组

使用 DFS 计算每个节点的祖先数组的具体实现比较简单。我们可以按照以下步骤来处理每个节点：

1. 首先把当前节点的父节点添加到它的祖先数组中。如果当前节点没有父节点，则将空节点（null）添加到祖先数组中，表示已经到达了根节点。
2. 然后对当前节点的每个子节点，递归调用这个函数，将当前节点的祖先数组作为参数传递给子节点。
3. 当递归结束后，我们就可以得到当前节点的祖先数组。

下面是这个算法的代码实现：

private void dfs(TreeNode root, TreeNode[] ancestors) {
    // 处理空节点，不做任何操作
    if (root == null) {
        return;
    }

    // 将当前节点的父节点添加到祖先数组中
    ancestors[root.val] = new TreeNode(-1);
    for (TreeNode ancestor : ancestors) {
        if (ancestor != null) {
            ancestors[root.val].addChild(ancestor.clone());
        }
    }

    // 递归处理子节点
    for (TreeNode child : root.children) {
        dfs(child, ancestors);
    }
}

上面的代码中，我们使用了一个 TreeNode 类来表示 N 叉树中的节点。这个类包含一个 val 属性来存储节点的值，以及一个 children 列表来保存它的子节点。我们还在这个类中添加了一个 addChild() 方法来向子节点列表中添加一个子节点，以及一个 clone() 方法来拷贝一个节点和它的所有子节点。

在 dfs() 函数中，我们首先将当前节点的父节点添加到祖先数组中。注意，这里我们并没有将真正的父节点添加到数组中，而是在它的基础上构造了一个新的节点，然后将其添加到数组中。这样做的目的是避免在后面计算第 K 个祖先时对原来的树结构造成影响。

然后，我们使用一个 for 循环遍历当前节点的祖先数组，将其中的每个祖先节点（除了空节点）添加到当前节点的祖先数组中。

最后，我们递归处理当前节点的每个子节点，将当前节点的祖先数组作为参数传递给子节点。

计算每个节点的第 K 个祖先

有了每个节点的祖先数组之后，我们就可以在 O(1) 的时间复杂度内计算每个节点的第 K 个祖先了。我们可以简单地从当前节点的祖先数组中取出第 K 个节点，并返回它的值。

如果第 K 个节点不存在，那么我们可以返回一个空节点（null）。

下面是实现这个算法的代码：

public TreeNode getKthAncestor(TreeNode node, int k) {
    TreeNode[] ancestors = new TreeNode[100001];
    dfs(node, ancestors);
    return k < ancestors[node.val].children.size()
            ? ancestors[node.val].children.get(k)
            : null;
}

在 getKthAncestor() 函数中，我们先创建一个大小为 100001 的祖先数组（注意，由于节点的值范围在 [0, 100000] 内，所以数组大小需要设置成 100001），然后调用 dfs() 函数计算每个节点的祖先数组。

最后，我们从当前节点的祖先数组中取出第 K 个节点，并返回它的值。如果第 K 个节点不存在，我们返回一个空节点（null）。

算法复杂度

对于每个节点，我们需要进行一次深度优先搜索，然后再进行一次指针操作，因此总的时间复杂度是 O(N)，其中 N 是节点的数量。

空间复杂度主要是用来存储每个节点的祖先数组，其中每个祖先数组的长度最长为 N，因此总的空间复杂度是 O(N^2)。

总结

在 N 叉树中计算每个节点的第 K 个祖先可以使用 DFS 处理，我们可以使用一个祖先数组来保存每个节点的所有祖先节点，然后根据这个数组计算每个节点的第 K 个祖先。

使用这个算法，我们可以在较短的时间内处理 N 叉树中节点的第 K 个祖先问题，代码量也比较小，因此在实际开发中是一种较为实用的算法。