算法分析 - 问题12

问题描述

给定一个长度为n的数组，其中每个元素要么是0，要么是1。你需要对这个数组进行k轮操作，每轮操作可以将0变成1，或将1变成0。每次操作中，你可以选择将某个索引处的元素进行一次翻转操作。

你的目标是将数组中的所有的1全部翻转到索引最后一位，使得数组的末尾恰好有k个 1。返回需要进行的最少翻转次数。

解决方案

思路分析

首先考虑一个朴素的贪心策略：从前向后扫描数组，如果当前位置是 1，那么将它翻转到末尾需要的次数为 k，并且将末尾的 k 减去 1，代表已经有一个位置的 1 被翻转到了末尾。如果当前位置是 0，那么将它翻转到末尾需要的次数为 1，并且将末尾的 k 减去 1，代表已经存在一个 1 在末尾。具体实现时需要注意，当末尾的 k 减到 0 时，就不必再翻转任何 1 了，直接返回即可。

由于每次操作都是独立的，而朴素贪心策略并未考虑到翻转某个位置会对后面产生影响的情况，这样朴素贪心策略并不是最优策略，存在错误。

观察到这道题的数据范围，可以想到使用动态规划的方法求解，状态设计如下：

定义状态 $f(i,j)$，表示前 $i$ 个元素中已经有 $j$ 个 1 被翻转到末尾的最少翻转次数。

• 如果第 $i$ 个元素为 1，那么可以选择将其翻转到末尾，也可以选择不翻转。那么状态转移方程为：

$$f(i,j) = \min {f(i-1,j) + k-j, f(i-1,j-1)+1}$$

其中第一项表示不翻转第 $i$ 个元素，第二项表示翻转第 $i$ 个元素。

• 如果第 $i$ 个元素为 0，那么只能选择不翻转，那么状态转移方程为：

$$f(i,j) = f(i-1,j)$$

最终的答案即为 $f(n,k)$。

代码实现

def minFlips(self, nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    f = [[float('inf')]*(k+1) for _ in range(n+1)]
    f[0][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(k+1):
            if nums[i-1] == 1:
                f[i][j] = min(f[i-1][j]+k-j, f[i-1][j-1]+1)
            else:
                f[i][j] = f[i-1][j]
    return f[n][k]

时间复杂度分析

因为有两个状态：位置和末尾已经翻转的1的个数，所以状态有 $n\times k$ 种，每次状态转移需要 $\mathcal{O}(1)$ 的时间复杂度，所以总时间复杂度为 $\mathcal{O}(nk)$。

空间复杂度分析

状态有 $n\times k$ 种，每个状态需要存储一个 $\mathcal{O}(1)$ 的量，所以总空间复杂度为 $\mathcal{o}(nk)$。