题目介绍

本题是关于在给定范围内计算数字位数的幂次方和的问题。具体而言，给定范围 [L, R]，任务是计算范围内所有数字 i 的幂次方，其中幂次方是由 i 的每个数字位数的数量计算得出的。

具体而言，如果 i 有 d 个数字，则 i 的幂次方为 i * d^d。然后，需要计算范围 [L, R] 中所有数字的幂次方之和。

例如，如果 L=10 且 R=15，则需要计算 10,11,12,13,14,15 的幂次方和，其中每个数字都基于其数位的数量。

10: 1 * 1^1 = 1
11: 2 * 1^1 = 2
12: 2 * 1^1 + 1 * 2^2 = 6
13: 2 * 1^1 + 1 * 2^2 = 6
14: 2 * 1^1 + 1 * 2^2 = 6
15: 2 * 1^1 + 1 * 2^2 = 6

因此，总和为 1 + 2 + 6 + 6 + 6 + 6 = 27。

解题思路

一个朴素的解法是循环遍历范围 [L, R] 中的所有数字，计算它们各自的幂次方，然后将这些幂次方加起来。具体而言，我们可以编写一个 for 循环遍历范围 [L, R]，在每个循环迭代中计算当前数字的幂次方，并将其添加到总和中。

def countDigits(n):
    return len(str(n))

def sumOfPowerInRange(L, R):
    total = 0
    for i in range(L, R + 1):
        power = i * countDigits(i) ** countDigits(i)
        total += power
    return total

虽然这种解决方案是正确的，但它不够有效，因为需要对整个 [L, R] 范围中的每个数字都进行计算。在实际应用中，我们需要一个更快的算法。

观察题目中数字幂次方的计算方法：如果 i 有 d 个数字，则 i 的幂次方为 i * d^d。我们可以看到，幂次方只依赖于数字 i 的位数 d。因此，我们可以先计算范围内数字的位数并将它们存储在一个列表中，然后只计算位数相同的数字。

具体而言，我们可以编写一个函数 digitCounts，用于计算范围 [L, R] 中所有数字的位数，然后将其存储在一个字典中。接下来，我们可以编写一个嵌套的 for 循环，其中外循环遍历字典中的每个位数，内循环遍历该位数下所有数字，并计算它们的幂次方。

def digitCounts(L, R):
    counts = {}
    for i in range(L, R + 1):
        count = countDigits(i)
        if count not in counts:
            counts[count] = []
        counts[count].append(i)
    return counts

def sumOfPowerInRange(L, R):
    total = 0
    digit_counts = digitCounts(L, R)
    for count in digit_counts:
        digits = digit_counts[count]
        for digit in digits:
            power = digit * count ** count
            total += power
    return total

这种解决方案的时间复杂度为 O(d(N))，其中 d(N) 代表 N 的位数。如果范围 [L, R] 中的数字长度非常大，则此算法的效率会受到影响。幸运的是，我们可以进一步优化算法的效率。

注意到，幂次方的一部分 d^d 的值是不变的，我们可以将其预先计算并存储在一个数组中，而不是在每个循环迭代中计算它。为此，我们需要编写一个函数 computePower，它使用动态编程的方法来计算从 1 到 N 中每个数字的幂次方。接下来，我们可以使用此预计算数组在 sumOfPowerInRange 函数中计算数字 i 的幂次方。

def computePower(N):
    power = [1 for i in range(N + 1)]
    for i in range(1, N + 1):
        digits = countDigits(i)
        power[i] = i * power[digits]
    return power

def sumOfPowerInRange(L, R):
    total = 0
    digit_counts = digitCounts(L, R)
    power = computePower(R)
    for count in digit_counts:
        digits = digit_counts[count]
        for digit in digits:
            total += digit * power[count]
    return total

该解决方案的时间复杂度为 O(N)，其中 N 是范围 [L, R] 中最大数字的值。当 N 非常大时，此解决方案的效率将相对较高。

代码说明

该解决方案由三个函数组成：countDigits、digitCounts 和 sumOfPowerInRange。

函数 countDigits 是用于计算数字的位数的函数。它使用 len(str(n)) 计算数字 n 的位数。

函数 digitCounts 遍历范围 [L, R] 中的所有数字，并根据它们的位数将它们存储在一个字典中。具体而言，它计算每个数字的位数，并将数字存储在一个列表中，该列表是以位数为键的字典的值。这样，我们就可以更有效地计算位数相同的数字的幂次方，从而减少计算量。

函数 sumOfPowerInRange 是最主要的函数。它使用 digitCounts 函数计算数字的位数并将它们存储在一个字典中。然后，它使用 computePower 函数预先计算幂次方的值，并存储在一个数组中。接下来，它遍历位数字典，并计算每个位数下的数字的幂次方。最后，它将这些幂次方添加到总和中，并返回总和。

函数 computePower 是一个预先计算幂次方的函数。它使用动态编程的方法计算从 1 到 N 中所有数字的幂次方。具体而言，它计算每个数字的位数 d，并将其幂次方 i * d^d 存储在数组 power 中。此数组可用于计算范围 [L, R] 中数字的幂次方。