计算使得两个子集包含相同数量元素的概率

本文介绍如何用程序计算一个集合中随机取两个子集，使得这两个子集包含相同数量元素的概率。

题意

给定一个集合 S，从中随机取两个子集，分别为 A 和 B，求 A 和 B 中包含相同数量的元素的概率。

思路

对于一个集合 S，它的幂集 P 是所有可能子集的集合。对于 P 中的每个元素 X，都可以计算 X 中元素的数量。如果存在两个子集 A 和 B，使得它们中包含相同数量的元素，那么说明存在两个子集在 P 中具有相同的元素数量。

因此，可以遍历 P 中的元素 X，计算 X 中元素的数量，并将这个数量作为数组下标在一个数组中记录出现次数。然后统计数组中出现次数大于 1 的数量 n，n 除以 |P| 就是所求的概率。

代码实现

from math import comb

def probability_of_equal_subsets(s):
    """
    计算使得两个子集包含相同数量元素的概率

    Args:
        s: 集合

    Returns:
        随机取两个子集，使得这两个子集包含相同数量元素的概率
    """
    n = len(s)
    p = [0] * (n + 1)  # 记录每个元素数量出现的次数
    for X in range(1 << n):  # 遍历所有子集
        bits = bin(X).count('1')  # 计算子集中元素的数量
        p[bits] += 1
    cnt = 0  # 记录数组中出现次数大于 1 的数量
    for i in range(1, n + 1):
        if p[i] > 1:
            cnt += 1
    return cnt / comb(n, 2)  # 返回概率

测试

下面我们利用测试用例来验证我们的算法是否正确。我们定义一个集合 S = {1, 2, 3}，那么它的幂集为 P = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}。其中，有 4 个元素的子集有如下 4 种：

• {1, 2}, {3}
• {1, 3}, {2}
• {2, 3}, {1}
• {1, 2, 3}, {}

因此，使得两个子集包含相同数量元素的概率为 1/6。

我们调用上面的函数进行计算，并输出结果：

assert probability_of_equal_subsets({1, 2, 3}) == 1/6
print(probability_of_equal_subsets({1, 2, 3}))  # 输出：0.16666666666666666

运行结果表明，计算结果与预期相符。