最小化数组中严格增加的子序列的数量 | 套装2

介绍

本题是一道动态规划问题，要求在给定的数组中找出最少的严格递增子序列的数量。假设输入的数组为 nums，则问题可以定义为：找出一个少于数组长度的正整数 k，使得 nums 可以被划分为 k 个严格递增的子序列。

为了实现这个目标，我们可以使用一个数组 dp 来存储从 nums[:i] 开始的最小划分数。最终的答案是 dp[n]，其中 n 是数组的长度。

算法分析

对于一个长度为 i 的数组，我们可以考虑以下两种情况：

• nums[i] 可以与较小的数构成一个新的子序列；
• nums[i] 只能加入到已经存在的长度为 j 的子序列末尾，其中 j < i。

为了满足题目要求，我们需要对两种情况进行 DP 转移，并选择最优解。

（1）对于第一种情况，我们可以选择把 nums[i] 单独构成一个新的子序列，此时 dp[i] = dp[i-1] + 1。

（2）对于第二种情况，我们需要遍历所有的已有子序列，找到最后一个数小于 nums[i] 的子序列，并把 nums[i] 加入到其中。此时，转移方程为 dp[i] = min(dp[i], dp[j-1] + 1)，其中 j 表示最后一个数小于 nums[i] 的子序列的末尾位置。

最终的转移方程为 dp[i] = min(dp[i-1] + 1, dp[j-1] + 1)，其中 j 表示最后一个数小于 nums[i] 的子序列的末尾位置。需要注意的是，我们需要遍历所有的 j，取其中的最小值。

代码实现

Python代码：

def min_increase_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)
            
    return dp[n-1]

Java代码：

public int minIncreaseSubsequence(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[] dp = new int[n];
    Arrays.fill(dp, 1);

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }

    return dp[n-1];
}

总结

本题是一道典型的动态规划问题，需要我们细心地分析题目中所给定的要求，选择合适的 DP 转移公式，最终得到正确的解答。强调一下，需要注意细节，善于发现极端情况下的处理方法。