两个城市之间的单源最短路径

在计算机科学中，单源最短路径问题是指在加权图中，给定一个起始节点，求出该节点到其它所有节点的最短路径。本文将介绍两个城市之间，如何求得单源最短路径的算法。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是单源最短路径问题中常用的算法之一。该算法采用贪心的思想，每次选择最短路径的节点加入已知路径中。具体流程如下：

1. 初始化一个源节点集合S，待确定的节点集合Q，以及节点到源节点的距离表dist。
2. 从待确定节点集合Q中，选择节点到源节点距离最短的节点v，并将其加入已知路径集合S中。
3. 更新节点到源节点的距离表dist，若从源节点到某节点的路径经过节点v距离更短，则更新为经过节点v的路径距离。
4. 重复2、3步骤，直到待确定节点集合Q为空。

由于Dijkstra算法每次将距离最短的节点加入已知路径集合S中，因此可以保证该节点到源节点的路径是当前已知路径中最短的路径。

代码片段

下面是一段Python代码实现Dijkstra算法：

def dijkstra(graph, start):
    # 初始化节点集合S、待确定节点集合Q、节点到源节点距离表dist
    S = set()
    Q = set(graph.keys())
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    
    while Q:
        # 选择距离最短的节点v并将其加入已知路径集合S中
        v = min(Q, key=lambda node: dist[node])
        S.add(v)
        Q.remove(v)
        
        # 更新节点到源节点距离表dist
        for neighbor, weight in graph[v].items():
            if neighbor not in Q:
                continue
            new_dist = dist[v] + weight
            if new_dist < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = new_dist
    
    return dist

其中，graph是邻接表，start是起点节点。

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法是另一个计算单源最短路径的算法。该算法利用了动态规划的思想，将节点到源节点的最短路径转换为子问题的最优解。具体流程如下：

1. 初始化节点到源节点的距离表dist，所有距离赋为正无穷。
2. 将源节点到自身的距离赋为0。
3. 对所有边进行N-1轮松弛操作（N为节点数）。每轮松弛操作，都遍历所有的边，对每一条边进行松弛操作，即更新节点到源节点的距离表dist。
4. 如果第N轮松弛操作仍然使得dist表得以更新，则说明图中存在负环。

由于Bellman-Ford算法采用了更为暴力的方式进行松弛操作，因此在处理边数较少的稠密图时，容易出现时间复杂度较高的情况。

代码片段

下面是一段Python代码实现Bellman-Ford算法：

def bellman_ford(graph, start):
    # 初始化节点到源节点的距离表dist
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    
    # 进行N-1轮松弛操作
    for _ in range(len(graph) - 1):
        for u, edges in graph.items():
            for v, weight in edges.items():
                if dist[u] + weight < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + weight
                    
    # 检查是否存在负环
    for u, edges in graph.items():
        for v, weight in edges.items():
            if dist[u] + weight < dist[v]:
                raise ValueError('graph contains negative weight cycle')
    
    return dist

其中，graph是邻接表，start是起点节点。

总结

本文介绍了两个单源最短路径问题的算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。Dijkstra算法采用贪心的思想，每次选择距离最短的节点加入已知路径中；Bellman-Ford算法则采用动态规划的思想，将节点到源节点的最短路径转换为子问题的最优解。两种算法都是计算单源最短路径的有效方法，但在不同的场景下可能会有不同的优劣。