小于X的最大数字，最多具有K个设置位

本文将介绍一个问题：给定一个正整数X和一个非负整数K，找到小于X的最大数字，该数字的二进制表示中最多具有K个设置位。我们将介绍两种解决此问题的方法。

方法一：暴力枚举

最简单的方法是从X开始向下枚举每个数字，检查其二进制表示中设置位的数量是否小于或等于K。如果找到满足条件的数字，则返回它；否则返回-1。

下面是这种方法的代码实现：

def find_largest_number(X, K):
    for i in range(X-1, 0, -1):
        if bin(i).count('1') <= K:
            return i
    return -1

使用计数器 bin(i).count('1') 来计算数字i的二进制表示中设置位的数量。

该方法的时间复杂度为O(XlogX)，因为我们需要对X的O(logX)个位进行计数。

方法二：二进制搜索

我们可以使用二进制搜索来加速上述过程。首先，我们要计算小于X的数字中最多具有K个设置位的数字的最小可能值和最大可能值。最小可能值是二进制表示中的第一个非零位之前的数字（不包括第一个非零位），而最大可能值是所有位均为1的数字。

然后，在这个范围内进行二进制搜索，查找具有最多K个设置位的最大数字。如果k小于等于0，返回X-1。

下面是这种方法的代码实现：

def count_set_bits(n):
    count = 0
    while n:
        count += n & 1
        n >>= 1
    return count
 
def find_largest_number(X, K):
    if K == 0:
        return X-1
    lo, hi = 0, X
    while lo < hi:
        mid = (lo + hi + 1)//2
        if (X - mid) >= mid and count_set_bits(X - mid) <= K:
            lo = mid
        else:
            hi = mid - 1
    return lo

在二分搜索中，我们通过查找二进制表示中确切数量的设置位来检查中间元素。如果中间元素满足要求，则我们在它之后查找更大的数字。 否则，在其之前查找更小的数字。

该方法的时间复杂度为O(logX)，因为我们只需对二进制表示中的每个位进行常数操作。

总结

在本文中，我们介绍了两种解决给定整数X和非负整数K时查找小于X的最大数字的方法。 暴力枚举的时间复杂度为O(XlogX)，而二进制搜索的时间复杂度为O(logX)。 二进制搜索是更有效和更快速的方法。