帕斯卡三角形 - 帕斯卡

简介

帕斯卡三角形（英语：Pascal's Triangle）是二项式系数的一种数表呈现方式，完整的形态如下：

                            1
                       1     1
                  1     2     1
               1     3     3     1
            1     4     6     4     1
         1     5    10    10    5     1
     1     6    15    20    15    6     1
……

在这个三角形中，第n行（从0开始计算）的第k个元素（同样也是从0开始计算）等于组合数

C(n,k) = n! / (k!×(n−k)!)

因此，帕斯卡三角形又称为组合三角形。

代码实现

以下是一段使用Python实现帕斯卡三角形的代码：

def pascal_triangle(row_num):
    """
    :param row_num: int
    :return: List[List[int]]
    """
    triangle = []
    for i in range(row_num):
        row = [1] * (i + 1)
        for j in range(1, i):
            row[j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle

该函数接受一个整数参数row_num，用于指定需要生成多少行的帕斯卡三角形，并返回一个二维列表。例如：

pascal_triangle(5)

输出如下：

[[1], 
 [1, 1], 
 [1, 2, 1], 
 [1, 3, 3, 1], 
 [1, 4, 6, 4, 1]] 

应用

帕斯卡三角形是数学组合学中一个非常重要的概念，应用广泛。例如：

• 牛顿二项式定理：$(x+y)^n = C(n,0) x^n y^0 + C(n,1) x^{n-1} y^1 + ... + C(n,n) x^0 y^n$。
• 在程序设计中，帕斯卡三角形可用于计算二项式系数，从而加速程序的执行速度。

总结

帕斯卡三角形在数学和程序设计中有着重要的作用，掌握如何生成帕斯卡三角形可以帮助我们更好地理解这一概念，进而应用于实际问题中。