在帕斯卡三角形中找到第 N 行

帕斯卡三角形是由数字组成的三角形，其特点是第一行只有一个数字 1，从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字之和。

下面是一个 5 行的帕斯卡三角形：

     1
    1 1
   1 2 1
  1 3 3 1
 1 4 6 4 1

我们的任务是找出帕斯卡三角形的第 N 行。

解法

解决这个问题有很多种方法，下面我们将介绍两种。

方法一：递推法

递推法可以非常简单地解决这个问题。我们首先定义一个数组 row，用于存储每一行的数据。然后我们从第一行开始，依次计算出每一行的数据，并存储到 row 数组中。

def get_row(n: int):
    row = [1] * (n+1)
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, i):
            row[i-j] += row[i-j-1]
    return row

对于第 n 行，我们可以通过调用该函数并传入参数 n 来计算出该行的数据：

row = get_row(n)

这个方法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

方法二：数学法

我们可以利用组合数的性质来计算帕斯卡三角形中的数值。帕斯卡三角形中的第 N 行共有 N+1 个数字，第 i 个数字的值为 C(N, i-1)，其中 C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数。组合数的计算公式为：

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

利用这个公式，我们可以快速计算出第 N 行的所有数字。下面是相应的代码实现：

from functools import reduce

def get_row(n: int):
    row = [0] * (n+1)
    row[0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        row[i] = row[i-1] * (n-i+1) // i
    return row

这个方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

总结

以上是两种常用的解法，它们都可以很方便地求出帕斯卡三角形的第 N 行，具体用哪种方法取决于具体应用场景和数据规模。