给定范围内 M 次循环操作后出现的最大整数

在编程中，我们经常需要在一定范围内进行多次循环操作，如何求出循环操作后可能出现的最大整数是一个经典问题。

问题描述

给定 $n$ 个正整数，每次从中选出两个数 $a$ 和 $b$，执行如下操作：

• 如果 $a > b$，则将 $a$ 减去 $b$，得到差值 $a' = a - b$。
• 如果 $a < b$，则将 $b$ 减去 $a$，得到差值 $b' = b - a$。
• 如果 $a = b$，则 $a$ 和 $b$ 均不变。

重复执行 $M$ 次该操作，求经过 $M$ 次操作后可能出现的最大整数。

解法思路

假设经过 $m$ 次操作后某个数为 $x$，则其必然可以表示为 $x = ax_1 + bx_2 + \cdots + mx_m$，其中 $x_1, x_2, \cdots, x_m$ 均为已知的正整数，$a, b, \cdots, m$ 均为非负整数，且满足 $a + b + \cdots + m = M$。

我们可以根据题目中的操作规则将 $a, b, \cdots, m$ 中的某一项拆分成其他项，例如 $a$ 可以拆分为 $a_1 + a_2$，其中 $a_1$ 表示 $a$ 在某次操作中被减去了 $b$，$a_2$ 表示 $a$ 在某次操作中保持不变。这样，我们可以将 $x$ 的表达式拆分为：

$$ x = a_1 x_1 + a_2 x_1 + b_1 x_2 + b_2 x_2 + \cdots + m_1 x_m + m_2 x_m $$

其中 $a_1 + a_2, b_1 + b_2, \cdots, m_1 + m_2$ 均为 $M$ 的一种拆分方式，且满足 $a_1, a_2, b_1, b_2, \cdots, m_1, m_2 \geqslant 0$。

我们可以定义 $f(i, j)$ 表示经过 $i$ 次操作后，出现的最大整数，其中最后一次操作使得 $x_j$ 减小了 $x_i$，即 $x_j = x_i + K$，其中 $K$ 为非负整数。

显然，如果 $x_j = x_i$，则 $f(i, j) = f(i-1, j)$；否则，$f(i, j)$ 可以由 $f(i-1, j)$ 和 $f(i-1, i)$ 两个状态转移而来，具体而言，有：

$$ f(i, j) = \begin{cases} f(i-1, j) &(x_i \geqslant x_j) \ f(i-1, i) &(\text{否则}) \end{cases} $$

最终的答案即为 $\max_{i=1}^{n} f(M, i)$。

代码实现

以下是该问题的 Python 代码实现：

def solve(n, M, x):
    f = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        f[0][i] = x[i-1]
    for i in range(1, M+1):
        for j in range(1, n+1):
            for k in range(1, n+1):
                if x[j-1] >= x[k-1]:
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j])
                else:
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][k] + x[j-1] * (i-1) + x[k-1] * (M-i+1))
    ans = max(max(f[M][1:]))
    return ans

其中 $n$ 是正整数的个数，$M$ 是操作次数，$x$ 是一个长度为 $n$ 的列表，表示 $n$ 个正整数。该函数返回经过 $M$ 次操作后可能出现的最大整数。