最长递减子序列

最长递减子序列（Longest Decreasing Subsequence）指的是一个数列中最长的子序列，使得子序列中的数从前到后依次递减。在计算机科学中，许多问题都可以通过求解最长递减子序列来得到解决。

暴力解法

最朴素的解法是暴力枚举，将所有可能的子序列都遍历一遍，找到其中最长的一个。时间复杂度为 $O(2^n)$，不太适合解决大规模数据的问题。

动态规划

动态规划是求解最长递减子序列的常用方法。定义状态 $dp_i$ 表示以 $a_i$ 结尾的最长递减子序列长度，则有状态转移方程：

$$dp_i = \max { dp_j + 1 } ,\ 0 \le j < i,\ a_j > a_i$$

即枚举 $i$ 之前的每个位置 $j$，若 $a_j$ 比 $a_i$ 大，则更新最长递减子序列长度。最终的结果即为 $dp$ 数组中的最大值。

时间复杂度为 $O(n^2)$。

下面是对应的 Python 代码片段：

def longest_decreasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] > nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

贪心算法

在动态规划的基础上，我们也可以使用贪心算法来求解最长递减子序列。具体操作是维护一个单调递减的序列，遍历原序列，如果当前元素比单调递减序列的末尾元素小，则将该元素加入到序列的末尾，否则，在单调递减序列中找到第一个大于该元素的位置，将该元素替换该位置上的元素。

时间复杂度为 $O(n \log n)$。

下面是对应的 Python 代码片段：

import bisect

def longest_decreasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    ends = []
    for num in nums:
        pos = bisect.bisect_right(ends, num)
        if pos == len(ends):
            ends.append(num)
        else:
            ends[pos] = num
    return len(ends)

总结

最长递减子序列是一个经典的问题，多种算法可供选择。在实际应用中，可以选择动态规划或贪心算法进行求解，具体选择取决于数据规模和时间复杂度的要求。