带有最小和的大小为k的非递减子序列

介绍

这是一个关于求解带有最小和的大小为k的非递减子序列的问题。给定一个长度为n的整数序列，我们需要找到一个长度为k的非递减子序列，它们之和的值是最小的。

这种问题可以应用于各种场景，例如资源分配中的优化问题、传感器网络中的最优节点选取等。

解决方案

动态规划

这是一种基于动态规划的解决方案。我们可以用dp[i][j]表示以第i个元素为结尾的长度为j的非递减子序列的最小和。状态转移方程可以写为：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+nums[i])

其中，nums为原序列。这个方程的意思是，当前的最小和可以通过两种情况来计算：第一种是前一个子序列的最小和，第二种是前一个子序列长度减1的最小和加上当前元素。

最终结果就是dp[n][k]。这个算法的时间复杂度是O(nk)，空间复杂度也是O(nk)。

二分查找

还有一种更高效的解决方案，基于二分查找。我们可以维护一个长度为k的单调递增的序列p，并且满足p[0]<=p[1]<=...<=p[k-1]。遍历原序列nums，对于每一个元素nums[i]，我们在p中查找插入位置j，使得p[j]<=nums[i]<p[j+1]。然后更新p[j+1]为nums[i]。

最终的最小和就是p的累加和。这个算法的时间复杂度是O(nlogk)，空间复杂度是O(k)。

示例代码

动态规划

def min_sum_subsequence(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0]*(k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            dp[i][j] = float('inf')
            for l in range(i):
                if nums[l]<=nums[i-1]:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[l][j-1]+nums[i-1])
    return dp[n][k]

二分查找

def min_sum_subsequence(nums, k):
    n = len(nums)
    p = [float('inf')]*k
    for i in range(n):
        j = bisect_left(p, nums[i])
        if j<k:
            p[j] = nums[i]
    return sum(p)

总结

这篇文章介绍了两种不同的算法来解决带有最小和的大小为k的非递减子序列问题。动态规划算法的时间复杂度是O(nk)，空间复杂度也是O(nk)。二分查找算法的时间复杂度是O(nlogk)，空间复杂度是O(k)。二分查找算法在空间复杂度上占有优势，在实际应用中可能更加实用。