3个有序点的方向

在计算机程序中，有时我们需要确定三个有序点之间的方向关系，这对很多算法和应用都非常重要。下面我们将介绍三个有序点的方向以及如何在程序中判断它们的方向。

方向的定义

假设有三个有序点 $p_1=(x_1,y_1)$，$p_2=(x_2,y_2)$，$p_3=(x_3,y_3)$，我们可以定义它们之间的方向关系如下：

• 如果 $p_1$ 在 $p_2$ 的逆时针方向（左下方为起点）到达 $p_3$，那么三个点的方向就是逆时针的，记为 $p_1$→$p_2$→$p_3$；
• 如果 $p_1$ 在 $p_2$ 的顺时针方向（左下方为起点）到达 $p_3$，那么三个点的方向就是顺时针的，记为 $p_1$←$p_2$←$p_3$；
• 如果 $p_1$、$p_2$、$p_3$ 三点在同一条直线上，那么三个点的方向就是无定义的，记为 $p_1$→$p_2\parallel p_3$ 或 $p_1$←$p_2\parallel p_3$。

判断方向的算法

要判断三个有序点之间的方向关系，我们可以使用叉积的方法。具体来说，可以按照以下步骤进行：

1. 将 $p_1$ 和 $p_2$ 连线记为向量 $\vec{v_1}=\langle x_2-x_1,y_2-y_1\rangle$；
2. 将 $p_2$ 和 $p_3$ 连线记为向量 $\vec{v_2}=\langle x_3-x_2,y_3-y_2\rangle$；
3. 计算向量叉积 $p=sgn(\vec{v_1}\times\vec{v_2})$，其中 $sgn(x)$ 表示 $x$ 的符号，即：

• 如果 $x>0$，$sgn(x)=1$；
• 如果 $x=0$，$sgn(x)=0$；
• 如果 $x<0$，$sgn(x)=-1$。

4. 根据 $p$ 的值判断三个点的方向关系：

• 如果 $p>0$，那么三个点的方向是逆时针的，即 $p_1$→$p_2$→$p_3$；
• 如果 $p<0$，那么三个点的方向是顺时针的，即 $p_1$←$p_2$←$p_3$；
• 如果 $p=0$，那么三个点在同一条直线上，方向无定义，记为 $p_1$→$p_2\parallel p_3$ 或 $p_1$←$p_2\parallel p_3$。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现判断三个有序点方向的代码示例：

def ccw(p1, p2, p3):
    x1, y1 = p1
    x2, y2 = p2
    x3, y3 = p3
    v1 = (x2 - x1, y2 - y1)
    v2 = (x3 - x2, y3 - y2)
    p = (v1[0] * v2[1]) - (v1[1] * v2[0])
    return 1 if p > 0 else -1 if p < 0 else 0

在上面的代码中，函数 ccw 接受三个有序点 $p_1$，$p_2$，$p_3$，返回它们之间的方向关系，其中值 $1$ 表示逆时针方向，值 $-1$ 表示顺时针方向，值 $0$ 表示无定义。

总结

三个有序点的方向是计算几何中的基本问题，在程序中的运用也非常广泛。本文介绍了如何定义三个有序点之间的方向，以及如何使用叉积算法判断它们的方向关系。同时提供了 Python 语言的实现代码。